# Кодирование чисел * !!! tip В этой книге разделы, помеченные символом `*`, относятся к дополнительному чтению. Если у тебя мало времени или материал кажется трудным, можно сначала пропустить их и вернуться после изучения обязательных разделов. ## Прямой, обратный и дополнительный коды В таблице из предыдущего раздела можно заметить, что все целочисленные типы могут представлять на одно отрицательное число больше, чем положительных. Например, диапазон `byte` равен $[-128, 127]$ . Это выглядит не слишком интуитивно, и внутренняя причина связана с прямым, обратным и дополнительным кодами. Прежде всего нужно отметить, что **числа хранятся в компьютере в виде «дополнительного кода»**. Прежде чем разбирать причины такого решения, сначала дадим определения всем трем способам представления. - **Прямой код**: старший бит двоичного представления числа рассматривается как знаковый, где $0$ означает положительное число, а $1$ - отрицательное. Остальные биты представляют значение числа. - **Обратный код**: для положительного числа обратный код совпадает с прямым. Для отрицательного числа он получается инверсией всех битов прямого кода, кроме знакового бита. - **Дополнительный код**: для положительного числа дополнительный код совпадает с прямым. Для отрицательного числа он получается добавлением $1$ к его обратному коду. На рисунке ниже показаны способы преобразования между прямым, обратным и дополнительным кодами. ![Преобразования между прямым, обратным и дополнительным кодами](number_encoding.assets/1s_2s_complement.png) Прямой код (sign-magnitude), хотя и является самым наглядным, имеет определенные ограничения. С одной стороны, **прямой код отрицательных чисел нельзя напрямую использовать в вычислениях**. Например, при вычислении $1 + (-2)$ в прямом коде результатом будет $-3$ , что, очевидно, неверно. $$ \begin{aligned} & 1 + (-2) \newline & \rightarrow 0000 \. 0001 + 1000 \. 0010 \newline & = 1000 \. 0011 \newline & \rightarrow -3 \end{aligned} $$ Чтобы решить эту проблему, компьютеры ввели обратный код (1's complement). Если сначала преобразовать прямой код в обратный и выполнить вычисление $1 + (-2)$ в обратном коде, а затем перевести результат обратно в прямой код, то получится правильный результат $-1$ . $$ \begin{aligned} & 1 + (-2) \newline & \rightarrow 0000 \. 0001 \. \text{(прямой код)} + 1000 \. 0010 \. \text{(прямой код)} \newline & = 0000 \. 0001 \. \text{(обратный код)} + 1111 \. 1101 \. \text{(обратный код)} \newline & = 1111 \. 1110 \. \text{(обратный код)} \newline & = 1000 \. 0001 \. \text{(прямой код)} \newline & \rightarrow -1 \end{aligned} $$ С другой стороны, **в прямом коде у нуля есть два представления: $+0$ и $-0$ **. Это означает, что числу ноль соответствуют два разных двоичных кода, что может приводить к неоднозначности. Например, если в условном выражении не различать положительный и отрицательный ноль, можно получить ошибочный результат. А если специально обрабатывать такую неоднозначность, придется вводить дополнительные проверки, что может снизить вычислительную эффективность компьютера. $$ \begin{aligned} +0 & \rightarrow 0000 \. 0000 \newline -0 & \rightarrow 1000 \. 0000 \end{aligned} $$ Как и прямой код, обратный код тоже страдает от неоднозначности положительного и отрицательного нуля, поэтому компьютеры ввели дополнительный код (2's complement). Сначала посмотрим на процесс преобразования отрицательного нуля из прямого кода в обратный, а затем в дополнительный: $$ \begin{aligned} -0 \rightarrow \. & 1000 \. 0000 \. \text{(прямой код)} \newline = \. & 1111 \. 1111 \. \text{(обратный код)} \newline = 1 \. & 0000 \. 0000 \. \text{(дополнительный код)} \newline \end{aligned} $$ При добавлении $1$ к обратному коду отрицательного нуля возникает перенос, но длина типа `byte` составляет всего 8 бит, поэтому переполнившаяся в 9-й бит единица отбрасывается. Иными словами, **дополнительный код отрицательного нуля равен $0000 \. 0000$ и совпадает с дополнительным кодом положительного нуля**. Значит, в представлении дополнительного кода существует только один ноль, и проблема неоднозначности положительного и отрицательного нуля тем самым устраняется. Остается последний вопрос: диапазон типа `byte` равен $[-128, 127]$ , откуда берется лишнее отрицательное число $-128$ ? Мы замечаем, что у всех целых чисел из интервала $[-127, +127]$ есть соответствующие прямой, обратный и дополнительный коды, а прямой и дополнительный коды можно преобразовывать друг в друга. Однако **дополнительный код $1000 \. 0000$ является исключением: у него нет соответствующего прямого кода**. Согласно правилу преобразования, прямой код для этого дополнительного кода должен быть равен $0000 \. 0000$ . Это очевидное противоречие, потому что такой прямой код обозначает число $0$ , а его дополнительный код должен совпадать с ним самим. Компьютер просто определяет, что этот особый дополнительный код $1000 \. 0000$ представляет число $-128$ . На самом деле результат вычисления $(-1) + (-127)$ в дополнительном коде как раз и равен $-128$ . $$ \begin{aligned} & (-127) + (-1) \newline & \rightarrow 1111 \. 1111 \. \text{(прямой код)} + 1000 \. 0001 \. \text{(прямой код)} \newline & = 1000 \. 0000 \. \text{(обратный код)} + 1111 \. 1110 \. \text{(обратный код)} \newline & = 1000 \. 0001 \. \text{(дополнительный код)} + 1111 \. 1111 \. \text{(дополнительный код)} \newline & = 1000 \. 0000 \. \text{(дополнительный код)} \newline & \rightarrow -128 \end{aligned} $$ Ты, вероятно, уже заметил, что все приведенные выше вычисления были операциями сложения. Это указывает на важный факт: **аппаратные схемы внутри компьютера в основном проектируются на основе операций сложения**. Причина в том, что сложение по сравнению с другими операциями (например умножением, делением и вычитанием) проще реализуется на аппаратном уровне, легче распараллеливается и выполняется быстрее. Обрати внимание: это не означает, что компьютер умеет только складывать. **Комбинируя сложение с некоторыми базовыми логическими операциями, компьютер может реализовать и другие математические операции**. Например, вычитание $a - b$ можно преобразовать в сложение $a + (-b)$. Умножение и деление можно свести к многократному сложению или вычитанию. Теперь можно подвести итог, почему компьютеры используют дополнительный код: с представлением в дополнительном коде компьютер может использовать одни и те же схемы и операции для сложения положительных и отрицательных чисел, без необходимости проектировать специальные аппаратные схемы для вычитания и без особой обработки неоднозначности положительного и отрицательного нуля. Это значительно упрощает аппаратную архитектуру и повышает эффективность вычислений. Идея дополнительного кода очень изящна. Из-за ограничений по объему мы на этом остановимся. Если тебе интересно, стоит изучить эту тему глубже. ## Кодирование чисел с плавающей точкой Внимательный читатель может заметить: `int` и `float` имеют одинаковую длину, по 4 байта , но почему диапазон значений у `float` намного больше, чем у `int` ? Это выглядит парадоксально, ведь `float` должен еще представлять дробные числа, а значит диапазон вроде бы должен быть меньше. На самом деле **это связано с тем, что число с плавающей точкой `float` использует другой способ представления**. Обозначим двоичное число длиной 32 бита как: $$ b_{31} b_{30} b_{29} \ldots b_2 b_1 b_0 $$ Согласно стандарту IEEE 754, 32-битный `float` состоит из следующих трех частей. - Бит знака $\mathrm{S}$ : занимает 1 бит и соответствует $b_{31}$ . - Биты экспоненты $\mathrm{E}$ : занимают 8 бит и соответствуют $b_{30} b_{29} \ldots b_{23}$ . - Биты мантиссы $\mathrm{N}$ : занимают 23 бита и соответствуют $b_{22} b_{21} \ldots b_0$ . Формула вычисления значения, соответствующего двоичному числу `float`, имеет вид: $$ \text {val} = (-1)^{b_{31}} \times 2^{\left(b_{30} b_{29} \ldots b_{23}\right)_2-127} \times\left(1 . b_{22} b_{21} \ldots b_0\right)_2 $$ Если перейти к десятичной записи, формула вычисления будет такой: $$ \text {val}=(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{\mathrm{E} -127} \times (1 + \mathrm{N}) $$ Диапазоны значений соответствующих частей таковы: $$ \begin{aligned} \mathrm{S} \in & \{ 0, 1\}, \quad \mathrm{E} \in \{ 1, 2, \dots, 254 \} \newline (1 + \mathrm{N}) = & (1 + \sum_{i=1}^{23} b_{23-i} 2^{-i}) \subset [1, 2 - 2^{-23}] \end{aligned} $$ ![Пример вычисления float по стандарту IEEE 754](number_encoding.assets/ieee_754_float.png) Как видно на рисунке выше, если взять пример $\mathrm{S} = 0$ , $\mathrm{E} = 124$ , $\mathrm{N} = 2^{-2} + 2^{-3} = 0.375$ , то получим: $$ \text { val } = (-1)^0 \times 2^{124 - 127} \times (1 + 0.375) = 0.171875 $$ Теперь мы можем ответить на исходный вопрос: **в представлении `float` присутствуют биты экспоненты, поэтому его диапазон значений намного больше, чем у `int`**. Согласно приведенным выше вычислениям, максимально возможное положительное число для `float` равно $2^{254 - 127} \times (2 - 2^{-23}) \approx 3.4 \times 10^{38}$. Если изменить бит знака, получим минимальное отрицательное число. **Хотя число с плавающей точкой `float` расширяет диапазон значений, побочным эффектом становится потеря точности**. Целочисленный тип `int` использует все 32 бита для представления числа, и числа распределены равномерно. А из-за существования битов экспоненты у `float` чем больше число, тем больше обычно становится разница между двумя соседними представимыми значениями. Как показано в таблице ниже, значения экспоненты $\mathrm{E} = 0$ и $\mathrm{E} = 255$ имеют специальный смысл и **используются для представления нуля, бесконечности, $\mathrm{NaN}$ и т.д.**

Таблица   Значение поля экспоненты

| Поле экспоненты E | Поле мантиссы $\mathrm{N} = 0$ | Поле мантиссы $\mathrm{N} \ne 0$ | Формула вычисления | | ------------------- | ------------------------------ | -------------------------------- | ----------------------------------------------------------------------- | | $0$ | $\pm 0$ | Денормализованное число | $(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{-126} \times (0.\mathrm{N})$ | | $1, 2, \dots, 254$ | Нормализованное число | Нормализованное число | $(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{(\mathrm{E} -127)} \times (1.\mathrm{N})$ | | $255$ | $\pm \infty$ | $\mathrm{NaN}$ | | Стоит отметить, что денормализованные числа заметно повышают точность чисел с плавающей точкой. Наименьшее положительное нормализованное число равно $2^{-126}$ , а наименьшее положительное денормализованное число равно $2^{-126} \times 2^{-23}$ . Двойная точность `double` использует способ представления, аналогичный `float` , поэтому здесь мы не будем подробно останавливаться на нем.