# Поисковая стратегия разделяй и властвуй

Мы уже знаем, что алгоритмы поиска делятся на две большие категории.

- **Полный перебор**: реализуется через обход структуры данных, временная сложность равна $O(n)$ .
- **Адаптивный поиск**: использует особую организацию данных или априорную информацию, временная сложность может достигать $O(\log n)$ и даже $O(1)$ .

На практике **алгоритмы поиска с временной сложностью $O(\log n)$ обычно реализуются на основе стратегии «разделяй и властвуй»**, например двоичный поиск и деревья.

- На каждом шаге двоичный поиск раскладывает задачу (поиск целевого элемента в массиве) на более мелкую задачу (поиск целевого элемента в одной половине массива), и этот процесс продолжается, пока массив не станет пустым или пока не будет найден целевой элемент.
- Деревья являются типичными представителями идей «разделяй и властвуй». В таких структурах данных, как двоичное дерево поиска, AVL-дерево и куча, временная сложность различных операций равна $O(\log n)$ .

Стратегия «разделяй и властвуй» для двоичного поиска выглядит следующим образом.

- **Задача раскладывается на части**: двоичный поиск рекурсивно разбивает исходную задачу (поиск в массиве) на подзадачу (поиск в одной половине массива), и это достигается сравнением среднего элемента с целевым значением.
- **Подзадачи независимы**: в двоичном поиске на каждом шаге обрабатывается только одна подзадача, и она не зависит от других подзадач.
- **Решения подзадач не нужно объединять**: двоичный поиск нацелен на поиск конкретного элемента, поэтому объединять решения подзадач не требуется. Как только подзадача решена, одновременно считается решенной и исходная задача.

Иными словами, стратегия «разделяй и властвуй» повышает эффективность поиска потому, что при полном переборе за один шаг удается исключить только один вариант, **тогда как при поиске на основе «разделяй и властвуй» за один шаг можно исключить половину вариантов**.

### Реализация двоичного поиска на основе «разделяй и властвуй»

В предыдущих главах двоичный поиск реализовывался через итерацию. Теперь реализуем его с помощью стратегии «разделяй и властвуй», то есть через рекурсию.

!!! question

    Дан отсортированный массив `nums` длины $n$ , в котором все элементы уникальны. Найдите элемент `target` .

С точки зрения стратегии «разделяй и властвуй» обозначим подзадачу, соответствующую интервалу поиска $[i, j]$ , через $f(i, j)$ .

Начиная с исходной задачи $f(0, n-1)$ , выполняем двоичный поиск по следующим шагам.

1. Вычислить середину $m$ интервала поиска $[i, j]$ и с ее помощью исключить половину интервала.
2. Рекурсивно решить подзадачу вдвое меньшего размера. Это может быть либо $f(i, m-1)$ , либо $f(m+1, j)$ .
3. Повторять шаг `1.` и шаг `2.` , пока не будет найден `target` или пока интервал не станет пустым.

На рисунке ниже показан процесс применения стратегии «разделяй и властвуй» для поиска элемента $6$ в массиве.

![Процесс двоичного поиска в стиле разделяй и властвуй](binary_search_recur.assets/binary_search_recur.png)

В реализации кода мы объявляем рекурсивную функцию `dfs()` для решения задачи $f(i, j)$ :

```src
[file]{binary_search_recur}-[class]{}-[func]{binary_search}
```