# Базовые операции графа

Базовые операции графа можно разделить на операции над «ребрами» и операции над «вершинами». При двух способах представления, «матрице смежности» и «списке смежности», реализация этих операций различается.

## Реализация на основе матрицы смежности

Пусть дан неориентированный граф с числом вершин $n$ . Тогда способы реализации различных операций показаны на рисунке ниже.

- **Добавление или удаление ребра**: достаточно изменить соответствующее ребро в матрице смежности, что требует $O(1)$ времени. Поскольку граф неориентированный, необходимо одновременно обновить ребра в обоих направлениях.
- **Добавление вершины**: в конец матрицы смежности добавляется строка и столбец, полностью заполненные нулями. Это требует $O(n)$ времени.
- **Удаление вершины**: из матрицы смежности удаляется строка и столбец. При удалении первой строки и первого столбца достигается худший случай, когда требуется «сдвинуть влево вверх» $(n-1)^2$ элементов, поэтому используется $O(n^2)$ времени.
- **Инициализация**: передаются $n$ вершин, затем инициализируется список вершин `vertices` длины $n$ , что требует $O(n)$ времени. После этого инициализируется матрица смежности `adjMat` размера $n \times n$ , что требует $O(n^2)$ времени.

=== "<1>"
    ![Инициализация матрицы смежности, добавление и удаление ребер и вершин](graph_operations.assets/adjacency_matrix_step1_initialization.png)

=== "<2>"
    ![adjacency_matrix_add_edge](graph_operations.assets/adjacency_matrix_step2_add_edge.png)

=== "<3>"
    ![adjacency_matrix_remove_edge](graph_operations.assets/adjacency_matrix_step3_remove_edge.png)

=== "<4>"
    ![adjacency_matrix_add_vertex](graph_operations.assets/adjacency_matrix_step4_add_vertex.png)

=== "<5>"
    ![adjacency_matrix_remove_vertex](graph_operations.assets/adjacency_matrix_step5_remove_vertex.png)

Ниже приведен код реализации графа на основе матрицы смежности:

```src
[file]{graph_adjacency_matrix}-[class]{graph_adj_mat}-[func]{}
```

## Реализация на основе списка смежности

Пусть неориентированный граф содержит в сумме $n$ вершин и $m$ ребер. Тогда различные операции можно реализовать способом, показанным на рисунке ниже.

- **Добавление ребра**: достаточно добавить ребро в конец списка, соответствующего вершине. Это требует $O(1)$ времени. Поскольку граф неориентированный, необходимо одновременно добавить ребра в обоих направлениях.
- **Удаление ребра**: нужно найти и удалить указанное ребро в списке, соответствующем вершине. Это требует $O(m)$ времени. В неориентированном графе необходимо удалить ребра в обоих направлениях.
- **Добавление вершины**: в список смежности добавляется еще один список, а новая вершина становится его головным узлом. Это требует $O(1)$ времени.
- **Удаление вершины**: требуется пройти по всему списку смежности и удалить все ребра, содержащие указанную вершину. Это требует $O(n + m)$ времени.
- **Инициализация**: в списке смежности создаются $n$ вершин и $2m$ ребер. Это требует $O(n + m)$ времени.

=== "<1>"
    ![Инициализация списка смежности, добавление и удаление ребер и вершин](graph_operations.assets/adjacency_list_step1_initialization.png)

=== "<2>"
    ![adjacency_list_add_edge](graph_operations.assets/adjacency_list_step2_add_edge.png)

=== "<3>"
    ![adjacency_list_remove_edge](graph_operations.assets/adjacency_list_step3_remove_edge.png)

=== "<4>"
    ![adjacency_list_add_vertex](graph_operations.assets/adjacency_list_step4_add_vertex.png)

=== "<5>"
    ![adjacency_list_remove_vertex](graph_operations.assets/adjacency_list_step5_remove_vertex.png)

Ниже приведен код списка смежности. По сравнению с тем, что показано на рисунке выше, реальная реализация имеет следующие отличия.

- Чтобы упростить добавление и удаление вершин, а также сделать код проще, мы используем список, то есть динамический массив, вместо связного списка.
- Для хранения списка смежности используется хеш-таблица, где `key` - это экземпляр вершины, а `value` - список смежных вершин данной вершины.

Кроме того, в списке смежности используется класс `Vertex` для представления вершины. Причина в том, что если, как и в матрице смежности, различать вершины по индексам списка, то при удалении вершины с индексом $i$ пришлось бы обходить весь список смежности и уменьшать на $1$ все индексы, большие $i$ , что крайне неэффективно. Если же каждая вершина является уникальным экземпляром `Vertex` , то после удаления одной вершины остальные вершины менять уже не требуется.

```src
[file]{graph_adjacency_list}-[class]{graph_adj_list}-[func]{}
```

## Сравнение эффективности

Пусть в графе имеется $n$ вершин и $m$ ребер. В таблице ниже сравниваются временная и пространственная эффективность матрицы смежности и списка смежности. Обратите внимание: список смежности (связный список) соответствует реализации из этой статьи, а список смежности (хеш-таблица) означает вариант, в котором все списки заменены хеш-таблицами.

<p align="center"> Таблица <id> &nbsp; Сравнение матрицы смежности и списка смежности </p>

|              | Матрица смежности | Список смежности (связный список) | Список смежности (хеш-таблица) |
| ------------ | ----------------- | --------------------------------- | ------------------------------ |
| Проверка смежности | $O(1)$   | $O(n)$         | $O(1)$           |
| Добавление ребра   | $O(1)$   | $O(1)$         | $O(1)$           |
| Удаление ребра     | $O(1)$   | $O(n)$         | $O(1)$           |
| Добавление вершины | $O(n)$   | $O(1)$         | $O(1)$           |
| Удаление вершины   | $O(n^2)$ | $O(n + m)$     | $O(n)$           |
| Занимаемая память  | $O(n^2)$ | $O(n + m)$     | $O(n + m)$       |

Если судить только по данным в таблице выше, может показаться, что список смежности на основе хеш-таблицы является лучшим и по времени, и по памяти. Но на практике операции над ребрами в матрице смежности обычно выполняются быстрее, потому что там нужен лишь один доступ к массиву или одно присваивание. В целом матрица смежности воплощает принцип «обмена пространства на время», а список смежности - принцип «обмена времени на пространство».