# Краткие итоги

### Основные моменты

- Двоичное дерево - это нелинейная структура данных, отражающая логику «разделяй и властвуй». Каждый узел двоичного дерева содержит значение и два указателя, которые соответственно ведут к левому и правому дочерним узлам.
- Для любого узла двоичного дерева дерево, образованное его левым (правым) дочерним узлом и всеми нижележащими узлами, называется левым (правым) поддеревом этого узла.
- К связанным с двоичным деревом терминам относятся корневой узел, листовой узел, уровень, степень, ребро, высота, глубина и так далее.
- Инициализация двоичного дерева, вставка узлов и удаление узлов аналогичны операциям со связным списком.
- К распространенным видам двоичного дерева относятся идеальное двоичное дерево, полное двоичное дерево, строгое двоичное дерево и сбалансированное двоичное дерево. Идеальное двоичное дерево - наиболее желательное состояние, а связный список - худший случай после вырождения.
- Двоичное дерево можно представить массивом: значения узлов и пустые позиции располагаются в порядке обхода по уровням, а связи между родителем и детьми реализуются через индексацию.
- Обход двоичного дерева по уровням является методом поиска в ширину. Он отражает идею «расширяться от центра к периферии слой за слоем» и обычно реализуется через очередь.
- Прямой, симметричный и обратный обходы относятся к поиску в глубину. Они отражают идею «сначала дойти до конца, затем вернуться и продолжить» и обычно реализуются рекурсивно.
- Двоичное дерево поиска - это эффективная структура данных для поиска элементов. Его поиск, вставка и удаление имеют временную сложность $O(\log n)$ . Когда двоичное дерево поиска вырождается в связный список, все эти сложности деградируют до $O(n)$ .
- AVL-дерево, также называемое сбалансированным двоичным деревом поиска, с помощью вращений гарантирует, что после постоянных вставок и удалений узлов дерево остается сбалансированным.
- Вращения AVL-дерева включают правое вращение, левое вращение, сначала правое затем левое и сначала левое затем правое. После вставки или удаления узла AVL-дерево выполняет вращения снизу вверх, чтобы снова восстановить баланс.

### Q & A

**Q**: Для двоичного дерева, состоящего из одного узла, высота дерева и глубина корня обе равны $0$ ?

Да, потому что высота и глубина обычно определяются как «число пройденных ребер».

**Q**: Вставка и удаление в двоичном дереве обычно выполняются в составе набора операций. Что именно означает этот «набор операций»? Можно ли понимать это как освобождение ресурсов у дочерних узлов ресурса?

Возьмем в качестве примера двоичное дерево поиска: операция удаления узла делится на три случая, и каждый из этих случаев требует нескольких последовательных шагов работы с узлами.

**Q**: Почему у DFS для двоичного дерева есть три порядка: прямой, симметричный и обратный? Для чего они нужны?

Подобно прямому и обратному обходу массива, прямой, симметричный и обратный обходы - это три способа обхода двоичного дерева, с помощью которых можно получить результаты в определенном порядке. Например, в двоичном дереве поиска, где соблюдается отношение `значение левого дочернего узла < значение корня < значение правого дочернего узла` , если обходить дерево с приоритетом «лево $\rightarrow$ корень $\rightarrow$ право», то получится упорядоченная последовательность узлов.

**Q**: Правое вращение работает с отношениями между `node` , `child` и `grand_child` . А связь между `node` и его исходным родителем разве не нужно поддерживать? После правого вращения она ведь не оборвется?

На это нужно смотреть с точки зрения рекурсии. В правое вращение `right_rotate(root)` передается корень поддерева, а затем через `return child` возвращается корень этого поддерева уже после вращения. Соединение между новым корнем поддерева и его родителем восстанавливается после возврата функции и не входит в обязанности самой операции правого вращения.

**Q**: В C++ функции делятся на `private` и `public` . Какая логика стоит за этим? Почему `height()` и `updateHeight()` помещают в разные области видимости?

Главный критерий - область использования метода. Если метод нужен только внутри класса, его следует проектировать как `private` . Например, самостоятельный вызов `updateHeight()` пользователем не имеет смысла: это лишь один из шагов внутри вставки или удаления. А `height()` используется для чтения высоты узла, подобно `vector.size()` , поэтому его разумно делать `public` .

**Q**: Как построить двоичное дерево поиска из набора входных данных? Важен ли выбор корневого узла?

Да, важен. Способ построения дерева уже показан в методе `build_tree()` в коде двоичного дерева поиска. Что касается выбора корня, обычно входные данные сортируют, берут средний элемент как корень, а затем рекурсивно строят левое и правое поддеревья. Это позволяет в наибольшей степени сохранить баланс дерева.

**Q**: Нужно ли в Java всегда использовать `equals()` для сравнения строк?

В Java для базовых типов `==` используется, чтобы сравнивать, равны ли значения двух переменных. Для ссылочных типов логика у этих двух способов уже разная.

- `==` : сравнивает, ссылаются ли две переменные на один и тот же объект, то есть совпадает ли их адрес в памяти.
- `equals()`: сравнивает, равны ли значения двух объектов.

Поэтому если нужно сравнить значения, то следует использовать `equals()` . Но строки, инициализированные как `String a = "hi"; String b = "hi";` , хранятся в строковом пуле констант и указывают на один и тот же объект, поэтому в таком случае `a == b` тоже может дать истинный результат при сравнении содержимого.

**Q**: До достижения самого нижнего уровня при обходе в ширину число узлов в очереди равно $2^h$ ?

Да. Например, для полного двоичного дерева высоты $h = 2$ общее число узлов равно $n = 7$ , а число узлов на нижнем уровне равно $4 = 2^h = (n + 1) / 2$ .