hello-algo/ru/docs/chapter_backtracking/subset_sum_problem.md

Задача о сумме подмножеств

Случай без повторяющихся элементов

!!! question

Дан массив положительных целых чисел `nums` и целое положительное значение `target` . Найдите все возможные комбинации, сумма элементов которых равна `target` . Во входном массиве нет повторяющихся элементов, и каждый элемент можно выбирать неограниченное число раз. Верните эти комбинации в виде списка. В результате не должно быть повторяющихся комбинаций.

Например, для входного множества \{3, 4, 5\} и целевого значения 9 решениями будут \{3, 3, 3\} и \{4, 5\} . При этом важно учитывать два обстоятельства.

• Элементы входного множества можно выбирать повторно неограниченное число раз.
• Подмножество не различает порядок элементов, поэтому \{4, 5\} и \{5, 4\} считаются одним и тем же подмножеством.

Отталкиваемся от решения задачи о перестановках

Как и в задаче о перестановках, можно представлять построение подмножеств как результат последовательности выборов и во время выбора динамически обновлять «сумму элементов». Когда эта сумма становится равной target , соответствующее подмножество записывается в список результатов.

Однако в отличие от задачи о перестановках в этой задаче элементы множества можно выбирать неограниченное число раз, поэтому нам не нужен булев список selected для записи того, был ли выбран элемент. Можно слегка изменить код для перестановок и получить первоначальную версию решения:

[file]{subset_sum_i_naive}-[class]{}-[func]{subset_sum_i_naive}

Если подать на этот код массив [3, 4, 5] и целевое значение 9 , то на выходе мы получим [3, 3, 3], [4, 5], [5, 4] . Хотя все подмножества с суммой 9 успешно найдены, среди них все же присутствуют дубликаты: [4, 5] и $[5, 4]$ .

Причина в том, что процесс поиска различает порядок выбора, тогда как для подмножеств порядок не важен. Как показано на рисунке ниже, сначала выбрать 4 , а затем 5 , и сначала выбрать 5 , а затем 4 - это разные ветви поиска, но им соответствует одно и то же подмножество.

Чтобы убрать повторяющиеся подмножества, одна из прямых идей - удалить дубликаты уже из итогового списка результатов. Но это решение малоэффективно по двум причинам.

• Когда массив содержит много элементов, а особенно когда target велик, процесс поиска порождает огромное число повторяющихся подмножеств.
• Сравнение подмножеств (то есть массивов) само по себе довольно затратно: сначала приходится сортировать массивы, а затем поэлементно сравнивать их.

Обрезка повторяющихся подмножеств

Поэтому стоит выполнять устранение дубликатов прямо во время поиска, с помощью обрезки. Как видно на рисунке ниже, повторяющиеся подмножества возникают тогда, когда элементы массива выбираются в разном порядке, например так.

1. Если в первом и втором раундах выбрать соответственно 3 и 4 , то будут сгенерированы все подмножества, содержащие эти два элемента, и их можно обозначить как [3, 4, \dots] .
2. После этого, если в первом раунде выбрать 4 , то во втором раунде нужно пропустить $3$ , потому что подмножества [4, 3, \dots] полностью дублируют подмножества, уже построенные на шаге 1. .

Во время поиска варианты на каждом уровне пробуются по одному слева направо, поэтому чем правее ветвь, тем больше ветвей оказывается отсечено.

1. В первых двух раундах выбираются 3 и 5 , что дает подмножества [3, 5, \dots] .
2. В первых двух раундах выбираются 4 и 5 , что дает подмножества [4, 5, \dots] .
3. Если же в первом раунде выбрать 5 , то во втором раунде нужно пропустить 3 и $4$ , потому что подмножества [5, 3, \dots] и [5, 4, \dots] полностью дублируют случаи, описанные в шагах 1. и 2. .

В общем виде, если входной массив имеет вид [x_1, x_2, \dots, x_n] , а последовательность выборов в ходе поиска равна [x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_m}] , то она должна удовлетворять условию i_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m. Все последовательности выборов, не удовлетворяющие этому условию, приводят к дубликатам и должны отсекаться.

Реализация кода

Чтобы реализовать такую обрезку, инициализируем переменную start , которая будет указывать начальную точку обхода. После выбора элемента x_i следующий раунд начинается с индекса $i$. Благодаря этому последовательность выборов всегда удовлетворяет условию i_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m , а значит, каждое подмножество создается только один раз.

Помимо этого, мы внесем в код еще два улучшения.

• Перед началом поиска отсортируем массив nums . Тогда при обходе всех вариантов можно сразу прервать цикл, как только сумма подмножества превысит target , потому что все последующие элементы будут еще больше и их сумма тоже превысит target .
• Откажемся от отдельной переменной суммы total и будем учитывать сумму через вычитание из target. Когда target станет равным 0 , решение фиксируется.

[file]{subset_sum_i}-[class]{}-[func]{subset_sum_i}

На рисунке ниже показан полный процесс поиска с возвратом для массива [3, 4, 5] и целевого значения 9 .

Учет повторяющихся элементов

!!! question

Дан массив положительных целых чисел `nums` и целое положительное значение `target` . Найдите все возможные комбинации, сумма элементов которых равна `target` . **Во входном массиве могут присутствовать повторяющиеся элементы, и каждый элемент разрешено выбирать только один раз**. Верните эти комбинации в виде списка. В результате не должно быть повторяющихся комбинаций.

По сравнению с предыдущей задачей во входном массиве теперь могут присутствовать повторяющиеся элементы, и это создает новую проблему. Например, если дан массив [4, \hat{4}, 5] и целевое значение 9 , то существующий код вернет результат [4, 5], [\hat{4}, 5] , то есть с повторяющимся подмножеством.

Причина появления дублей в том, что равные элементы выбираются несколько раз в одном и том же раунде. На рисунке ниже в первом раунде существует три варианта выбора, и два из них равны 4. Из-за этого появляются две дублирующиеся ветви поиска и, соответственно, повторяющиеся подмножества. Точно так же два элемента 4 во втором раунде тоже порождают дубликаты.

Обрезка равных элементов

Чтобы решить эту проблему, нужно ограничить выбор равных элементов так, чтобы в каждом раунде каждый из них выбирался только один раз. Реализуется это довольно естественно: поскольку массив отсортирован, равные элементы стоят рядом. Значит, если в текущем раунде текущий элемент равен соседнему слева, то этот вариант уже был рассмотрен, и текущий элемент нужно пропустить.

Одновременно по условию этой задачи каждый элемент массива можно выбрать только один раз. К счастью, это ограничение тоже можно реализовать через переменную start : после выбора элемента x_i следующий раунд начинается с индекса i + 1 . Так мы одновременно убираем повторяющиеся подмножества и исключаем повторный выбор одного и того же элемента.

Реализация кода

[file]{subset_sum_ii}-[class]{}-[func]{subset_sum_ii}

На рисунке ниже показан процесс поиска с возвратом для массива [4, 4, 5] и целевого значения 9 . В нем используются четыре вида обрезки. Попробуйте сопоставить рисунок с комментариями в коде, чтобы понять полный процесс поиска и то, как работает каждый тип обрезки.