hello-algo/ru/docs/chapter_computational_complexity/time_complexity.md

Временная сложность

Время выполнения действительно может наглядно и точно отражать эффективность алгоритма. Но если мы захотим точно оценить время работы некоторого фрагмента кода, то столкнемся со следующими шагами.

1. Определить платформу выполнения, включая конфигурацию оборудования, язык программирования, системную среду и т.д., поскольку все эти факторы влияют на эффективность выполнения кода.
2. Оценить время выполнения различных вычислительных операций, например операция сложения + требует 1 нс , операция умножения * требует 10 нс , операция вывода print() требует 5 нс и т.д.
3. Подсчитать все вычислительные операции в коде и суммировать время выполнения всех операций, чтобы получить общее время работы.

Например, в следующем коде размер входных данных равен n :

=== "Python"

```python title=""
# На некоторой платформе выполнения
def algorithm(n: int):
    a = 2      # 1 нс
    a = a + 1  # 1 нс
    a = a * 2  # 10 нс
    # Цикл выполняется n раз
    for _ in range(n):  # 1 нс
        print(0)        # 5 нс
```

=== "C++"

```cpp title=""
// На некоторой платформе выполнения
void algorithm(int n) {
    int a = 2;  // 1 нс
    a = a + 1;  // 1 нс
    a = a * 2;  // 10 нс
    // Цикл выполняется n раз
    for (int i = 0; i < n; i++) {  // 1 нс
        cout << 0 << endl;         // 5 нс
    }
}
```

=== "Java"

```java title=""
// На некоторой платформе выполнения
void algorithm(int n) {
    int a = 2;  // 1 нс
    a = a + 1;  // 1 нс
    a = a * 2;  // 10 нс
    // Цикл выполняется n раз
    for (int i = 0; i < n; i++) {  // 1 нс
        System.out.println(0);     // 5 нс
    }
}
```

=== "C#"

```csharp title=""
// На некоторой платформе выполнения
void Algorithm(int n) {
    int a = 2;  // 1 нс
    a = a + 1;  // 1 нс
    a = a * 2;  // 10 нс
    // Цикл выполняется n раз
    for (int i = 0; i < n; i++) {  // 1 нс
        Console.WriteLine(0);      // 5 нс
    }
}
```

=== "Go"

```go title=""
// На некоторой платформе выполнения
func algorithm(n int) {
    a := 2     // 1 нс
    a = a + 1  // 1 нс
    a = a * 2  // 10 нс
    // Цикл выполняется n раз
    for i := 0; i < n; i++ {  // 1 нс
        fmt.Println(a)        // 5 нс
    }
}
```

=== "Swift"

```swift title=""
// На некоторой платформе выполнения
func algorithm(n: Int) {
    var a = 2 // 1 нс
    a = a + 1 // 1 нс
    a = a * 2 // 10 нс
    // Цикл выполняется n раз
    for _ in 0 ..< n { // 1 нс
        print(0) // 5 нс
    }
}
```

=== "JS"

```javascript title=""
// На некоторой платформе выполнения
function algorithm(n) {
    var a = 2; // 1 нс
    a = a + 1; // 1 нс
    a = a * 2; // 10 нс
    // Цикл выполняется n раз
    for(let i = 0; i < n; i++) { // 1 нс
        console.log(0); // 5 нс
    }
}
```

=== "TS"

```typescript title=""
// На некоторой платформе выполнения
function algorithm(n: number): void {
    var a: number = 2; // 1 нс
    a = a + 1; // 1 нс
    a = a * 2; // 10 нс
    // Цикл выполняется n раз
    for(let i = 0; i < n; i++) { // 1 нс
        console.log(0); // 5 нс
    }
}
```

=== "Dart"

```dart title=""
// На некоторой платформе выполнения
void algorithm(int n) {
  int a = 2; // 1 нс
  a = a + 1; // 1 нс
  a = a * 2; // 10 нс
  // Цикл выполняется n раз
  for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 нс
    print(0); // 5 нс
  }
}
```

=== "Rust"

```rust title=""
// На некоторой платформе выполнения
fn algorithm(n: i32) {
    let mut a = 2;      // 1 нс
    a = a + 1;          // 1 нс
    a = a * 2;          // 10 нс
    // Цикл выполняется n раз
    for _ in 0..n {     // 1 нс
        println!("{}", 0);  // 5 нс
    }
}
```

=== "C"

```c title=""
// На некоторой платформе выполнения
void algorithm(int n) {
    int a = 2;  // 1 нс
    a = a + 1;  // 1 нс
    a = a * 2;  // 10 нс
    // Цикл выполняется n раз
    for (int i = 0; i < n; i++) {   // 1 нс
        printf("%d", 0);            // 5 нс
    }
}
```

=== "Kotlin"

```kotlin title=""
// На некоторой платформе выполнения
fun algorithm(n: Int) {
    var a = 2 // 1 нс
    a = a + 1 // 1 нс
    a = a * 2 // 10 нс
    // Цикл выполняется n раз
    for (i in 0..<n) {  // 1 нс
        println(0)      // 5 нс
    }
}
```

=== "Ruby"

```ruby title=""
# На некоторой платформе выполнения
def algorithm(n)
    a = 2       # 1 нс
    a = a + 1   # 1 нс
    a = a * 2   # 10 нс
    # Цикл выполняется n раз
    (0...n).each do # 1 нс
        puts 0      # 5 нс
    end
end
```

Согласно приведенному выше методу, время работы алгоритма равно (6n + 12) нс :

1 + 1 + 10 + (1 + 5) \times n = 6n + 12

Но на практике подсчитывать реальное время выполнения алгоритма и неразумно, и нереалистично. Во-первых, мы не хотим привязывать оценку времени к конкретной платформе, потому что алгоритм должен запускаться на самых разных платформах. Во-вторых, нам трудно определить время выполнения каждого типа операций, а это делает точную оценку крайне затруднительной.

Подсчет тенденции роста времени

Анализ временной сложности оценивает не само время выполнения алгоритма, а тенденцию роста этого времени по мере увеличения объема данных.

Понятие «тенденции роста времени» выглядит довольно абстрактным, поэтому разберем его на примере. Предположим, размер входных данных равен n , и даны три алгоритма A , B и C :

=== "Python"

```python title=""
# Временная сложность алгоритма A: постоянная
def algorithm_A(n: int):
    print(0)
# Временная сложность алгоритма B: линейная
def algorithm_B(n: int):
    for _ in range(n):
        print(0)
# Временная сложность алгоритма C: постоянная
def algorithm_C(n: int):
    for _ in range(1000000):
        print(0)
```

=== "C++"

```cpp title=""
// Временная сложность алгоритма A: постоянная
void algorithm_A(int n) {
    cout << 0 << endl;
}
// Временная сложность алгоритма B: линейная
void algorithm_B(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cout << 0 << endl;
    }
}
// Временная сложность алгоритма C: постоянная
void algorithm_C(int n) {
    for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
        cout << 0 << endl;
    }
}
```

=== "Java"

```java title=""
// Временная сложность алгоритма A: постоянная
void algorithm_A(int n) {
    System.out.println(0);
}
// Временная сложность алгоритма B: линейная
void algorithm_B(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        System.out.println(0);
    }
}
// Временная сложность алгоритма C: постоянная
void algorithm_C(int n) {
    for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
        System.out.println(0);
    }
}
```

=== "C#"

```csharp title=""
// Временная сложность алгоритма A: постоянная
void AlgorithmA(int n) {
    Console.WriteLine(0);
}
// Временная сложность алгоритма B: линейная
void AlgorithmB(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        Console.WriteLine(0);
    }
}
// Временная сложность алгоритма C: постоянная
void AlgorithmC(int n) {
    for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
        Console.WriteLine(0);
    }
}
```

=== "Go"

```go title=""
// Временная сложность алгоритма A: постоянная
func algorithm_A(n int) {
    fmt.Println(0)
}
// Временная сложность алгоритма B: линейная
func algorithm_B(n int) {
    for i := 0; i < n; i++ {
        fmt.Println(0)
    }
}
// Временная сложность алгоритма C: постоянная
func algorithm_C(n int) {
    for i := 0; i < 1000000; i++ {
        fmt.Println(0)
    }
}
```

=== "Swift"

```swift title=""
// Временная сложность алгоритма A: постоянная
func algorithmA(n: Int) {
    print(0)
}

// Временная сложность алгоритма B: линейная
func algorithmB(n: Int) {
    for _ in 0 ..< n {
        print(0)
    }
}

// Временная сложность алгоритма C: постоянная
func algorithmC(n: Int) {
    for _ in 0 ..< 1_000_000 {
        print(0)
    }
}
```

=== "JS"

```javascript title=""
// Временная сложность алгоритма A: постоянная
function algorithm_A(n) {
    console.log(0);
}
// Временная сложность алгоритма B: линейная
function algorithm_B(n) {
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        console.log(0);
    }
}
// Временная сложность алгоритма C: постоянная
function algorithm_C(n) {
    for (let i = 0; i < 1000000; i++) {
        console.log(0);
    }
}

```

=== "TS"

```typescript title=""
// Временная сложность алгоритма A: постоянная
function algorithm_A(n: number): void {
    console.log(0);
}
// Временная сложность алгоритма B: линейная
function algorithm_B(n: number): void {
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        console.log(0);
    }
}
// Временная сложность алгоритма C: постоянная
function algorithm_C(n: number): void {
    for (let i = 0; i < 1000000; i++) {
        console.log(0);
    }
}
```

=== "Dart"

```dart title=""
// Временная сложность алгоритма A: постоянная
void algorithmA(int n) {
  print(0);
}
// Временная сложность алгоритма B: линейная
void algorithmB(int n) {
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    print(0);
  }
}
// Временная сложность алгоритма C: постоянная
void algorithmC(int n) {
  for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
    print(0);
  }
}
```

=== "Rust"

```rust title=""
// Временная сложность алгоритма A: постоянная
fn algorithm_A(n: i32) {
    println!("{}", 0);
}
// Временная сложность алгоритма B: линейная
fn algorithm_B(n: i32) {
    for _ in 0..n {
        println!("{}", 0);
    }
}
// Временная сложность алгоритма C: постоянная
fn algorithm_C(n: i32) {
    for _ in 0..1000000 {
        println!("{}", 0);
    }
}
```

=== "C"

```c title=""
// Временная сложность алгоритма A: постоянная
void algorithm_A(int n) {
    printf("%d", 0);
}
// Временная сложность алгоритма B: линейная
void algorithm_B(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        printf("%d", 0);
    }
}
// Временная сложность алгоритма C: постоянная
void algorithm_C(int n) {
    for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
        printf("%d", 0);
    }
}
```

=== "Kotlin"

```kotlin title=""
// Временная сложность алгоритма A: постоянная
fun algoritm_A(n: Int) {
    println(0)
}
// Временная сложность алгоритма B: линейная
fun algorithm_B(n: Int) {
    for (i in 0..<n){
        println(0)
    }
}
// Временная сложность алгоритма C: постоянная
fun algorithm_C(n: Int) {
    for (i in 0..<1000000) {
        println(0)
    }
}
```

=== "Ruby"

```ruby title=""
# Временная сложность алгоритма A: постоянная
def algorithm_A(n)
    puts 0
end

# Временная сложность алгоритма B: линейная
def algorithm_B(n)
    (0...n).each { puts 0 }
end

# Временная сложность алгоритма C: постоянная
def algorithm_C(n)
    (0...1_000_000).each { puts 0 }
end
```

На рисунке ниже показаны временные сложности трех приведенных выше функций.

• У алгоритма A есть только одна операция вывода, и время его работы не растет с увеличением n . Такую временную сложность называют постоянной.
• В алгоритме B операция вывода выполняется в цикле n раз, поэтому время работы растет линейно по мере увеличения n . Такая временная сложность называется линейной.
• В алгоритме C операция вывода выполняется 1000000 раз. Хотя время работы велико, оно не зависит от размера входных данных n . Поэтому временная сложность C такая же, как у A , и тоже является постоянной.

Какие особенности имеет анализ временной сложности по сравнению с непосредственным измерением времени работы алгоритма?

• Временная сложность позволяет эффективно оценивать эффективность алгоритма. Например, время работы алгоритма B растет линейно: при n > 1 он медленнее алгоритма A , а при n > 1000000 медленнее алгоритма C . Если размер входных данных достаточно велик, алгоритм с постоянной сложностью обязательно лучше алгоритма с линейной сложностью. В этом и состоит смысл тенденции роста времени.
• Метод вывода временной сложности проще. Платформа выполнения и тип вычислительных операций не влияют на тенденцию роста времени работы алгоритма. Поэтому в анализе временной сложности можно считать время выполнения всех вычислительных операций одинаковым единичным временем и тем самым упростить подсчет времени выполнения до подсчета количества операций.
• У временной сложности есть и определенные ограничения. Например, хотя временная сложность алгоритмов A и C одинакова, их реальное время выполнения сильно различается. Точно так же, хотя временная сложность B выше, чем у C , при малых n алгоритм B очевидно лучше C . Несмотря на эти ограничения, анализ сложности все равно остается самым эффективным и самым распространенным способом оценки алгоритмов.

Асимптотическая верхняя граница функции

Для функции с входным размером n :

=== "Python"

```python title=""
def algorithm(n: int):
    a = 1      # +1
    a = a + 1  # +1
    a = a * 2  # +1
    # Цикл выполняется n раз
    for i in range(n):  # +1
        print(0)        # +1
```

=== "C++"

```cpp title=""
void algorithm(int n) {
    int a = 1;  // +1
    a = a + 1;  // +1
    a = a * 2;  // +1
    // Цикл выполняется n раз
    for (int i = 0; i < n; i++) { // +1 (каждый раз выполняется i ++)
        cout << 0 << endl;    // +1
    }
}
```

=== "Java"

```java title=""
void algorithm(int n) {
    int a = 1;  // +1
    a = a + 1;  // +1
    a = a * 2;  // +1
    // Цикл выполняется n раз
    for (int i = 0; i < n; i++) { // +1 (каждый раз выполняется i ++)
        System.out.println(0);    // +1
    }
}
```

=== "C#"

```csharp title=""
void Algorithm(int n) {
    int a = 1;  // +1
    a = a + 1;  // +1
    a = a * 2;  // +1
    // Цикл выполняется n раз
    for (int i = 0; i < n; i++) {   // +1 (каждый раз выполняется i ++)
        Console.WriteLine(0);   // +1
    }
}
```

=== "Go"

```go title=""
func algorithm(n int) {
    a := 1      // +1
    a = a + 1   // +1
    a = a * 2   // +1
    // Цикл выполняется n раз
    for i := 0; i < n; i++ {   // +1
        fmt.Println(a)         // +1
    }
}
```

=== "Swift"

```swift title=""
func algorithm(n: Int) {
    var a = 1 // +1
    a = a + 1 // +1
    a = a * 2 // +1
    // Цикл выполняется n раз
    for _ in 0 ..< n { // +1
        print(0) // +1
    }
}
```

=== "JS"

```javascript title=""
function algorithm(n) {
    var a = 1; // +1
    a += 1; // +1
    a *= 2; // +1
    // Цикл выполняется n раз
    for(let i = 0; i < n; i++){ // +1 (каждый раз выполняется i ++)
        console.log(0); // +1
    }
}
```

=== "TS"

```typescript title=""
function algorithm(n: number): void{
    var a: number = 1; // +1
    a += 1; // +1
    a *= 2; // +1
    // Цикл выполняется n раз
    for(let i = 0; i < n; i++){ // +1 (каждый раз выполняется i ++)
        console.log(0); // +1
    }
}
```

=== "Dart"

```dart title=""
void algorithm(int n) {
  int a = 1; // +1
  a = a + 1; // +1
  a = a * 2; // +1
  // Цикл выполняется n раз
  for (int i = 0; i < n; i++) { // +1 (каждый раз выполняется i ++)
    print(0); // +1
  }
}
```

=== "Rust"

```rust title=""
fn algorithm(n: i32) {
    let mut a = 1;   // +1
    a = a + 1;      // +1
    a = a * 2;      // +1

    // Цикл выполняется n раз
    for _ in 0..n { // +1 (каждый раз выполняется i ++)
        println!("{}", 0); // +1
    }
}
```

=== "C"

```c title=""
void algorithm(int n) {
    int a = 1;  // +1
    a = a + 1;  // +1
    a = a * 2;  // +1
    // Цикл выполняется n раз
    for (int i = 0; i < n; i++) {   // +1 (каждый раз выполняется i ++)
        printf("%d", 0);            // +1
    }
}
```

=== "Kotlin"

```kotlin title=""
fun algorithm(n: Int) {
    var a = 1 // +1
    a = a + 1 // +1
    a = a * 2 // +1
    // Цикл выполняется n раз
    for (i in 0..<n) { // +1 (каждый раз выполняется i ++)
        println(0) // +1
    }
}
```

=== "Ruby"

```ruby title=""
def algorithm(n)
    a = 1       # +1
    a = a + 1   # +1
    a = a * 2   # +1
    # Цикл выполняется n раз
    (0...n).each do # +1
        puts 0      # +1
    end
end
```

Пусть количество операций алгоритма является функцией от размера входных данных n и обозначается как T(n). Тогда для приведенной выше функции число операций равно:

T(n) = 3 + 2n

T(n) - линейная функция, а это означает, что тенденция роста времени работы линейна, следовательно, временная сложность здесь тоже линейна.

Линейную временную сложность записывают как O(n). Этот математический символ называется нотацией Big O (big-O notation) и обозначает асимптотическую верхнюю границу (asymptotic upper bound) функции T(n) .

Иными словами, анализ временной сложности сводится к определению асимптотической верхней границы числа операций T(n), и у этого понятия есть строгое математическое определение.

!!! note "Асимптотическая верхняя граница функции"

Если существуют положительное действительное число $c$ и действительное число $n_0$ , такие что для всех $n > n_0$ выполняется $T(n) \leq c \cdot f(n)$ , то можно считать, что $f(n)$ задает асимптотическую верхнюю границу для $T(n)$. Это записывается как $T(n) = O(f(n))$ .

Как показано на рисунке ниже, вычислить асимптотическую верхнюю границу - значит найти такую функцию f(n) , что при стремлении n к бесконечности функции T(n) и f(n) имеют один и тот же порядок роста и отличаются только постоянным коэффициентом c.

Метод вывода

Математическое определение асимптотической верхней границы выглядит довольно формально, и если оно пока не до конца понятно, переживать не стоит. Сначала можно освоить сам метод вывода, а в процессе дальнейшей практики постепенно почувствовать его математический смысл.

Согласно определению, после того как мы определили f(n) , можно получить временную сложность O(f(n)) . Но как определить саму асимптотическую верхнюю границу f(n) ? В целом процесс состоит из двух шагов: сначала подсчитать количество операций, затем определить асимптотическую верхнюю границу.

Шаг 1: подсчет количества операций

Для кода это можно делать построчно сверху вниз. Однако, поскольку в выражении c \cdot f(n) постоянный коэффициент c может быть сколь угодно большим, различные коэффициенты и постоянные члены в числе операций T(n) можно игнорировать. Исходя из этого принципа, можно сформулировать следующие упрощающие приемы подсчета.

1. Игнорировать константы в $T(n)$. Они не зависят от n , а значит не влияют на временную сложность.
2. Опускать все коэффициенты. Например, циклы на 2n раз или 5n + 1 раз можно упростить до n раз, потому что коэффициент перед n не влияет на временную сложность.
3. При вложенных циклах использовать умножение. Общее число операций равно произведению числа операций внешнего и внутреннего циклов. При этом для каждого уровня цикла по-прежнему можно применять приемы из пунктов 1. и 2. .

Для заданной функции мы можем использовать перечисленные выше приемы и подсчитать число операций:

=== "Python"

```python title=""
def algorithm(n: int):
    a = 1      # +0 (прием 1)
    a = a + n  # +0 (прием 1)
    # +n (прием 2)
    for i in range(5 * n + 1):
        print(0)
    # +n*n (прием 3)
    for i in range(2 * n):
        for j in range(n + 1):
            print(0)
```

=== "C++"

```cpp title=""
void algorithm(int n) {
    int a = 1;  // +0 (прием 1)
    a = a + n;  // +0 (прием 1)
    // +n (прием 2)
    for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
        cout << 0 << endl;
    }
    // +n*n (прием 3)
    for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
        for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
            cout << 0 << endl;
        }
    }
}
```

=== "Java"

```java title=""
void algorithm(int n) {
    int a = 1;  // +0 (прием 1)
    a = a + n;  // +0 (прием 1)
    // +n (прием 2)
    for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
        System.out.println(0);
    }
    // +n*n (прием 3)
    for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
        for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
            System.out.println(0);
        }
    }
}
```

=== "C#"

```csharp title=""
void Algorithm(int n) {
    int a = 1;  // +0 (прием 1)
    a = a + n;  // +0 (прием 1)
    // +n (прием 2)
    for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
        Console.WriteLine(0);
    }
    // +n*n (прием 3)
    for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
        for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
            Console.WriteLine(0);
        }
    }
}
```

=== "Go"

```go title=""
func algorithm(n int) {
    a := 1     // +0 (прием 1)
    a = a + n  // +0 (прием 1)
    // +n (прием 2)
    for i := 0; i < 5 * n + 1; i++ {
        fmt.Println(0)
    }
    // +n*n (прием 3)
    for i := 0; i < 2 * n; i++ {
        for j := 0; j < n + 1; j++ {
            fmt.Println(0)
        }
    }
}
```

=== "Swift"

```swift title=""
func algorithm(n: Int) {
    var a = 1 // +0 (прием 1)
    a = a + n // +0 (прием 1)
    // +n (прием 2)
    for _ in 0 ..< (5 * n + 1) {
        print(0)
    }
    // +n*n (прием 3)
    for _ in 0 ..< (2 * n) {
        for _ in 0 ..< (n + 1) {
            print(0)
        }
    }
}
```

=== "JS"

```javascript title=""
function algorithm(n) {
    let a = 1;  // +0 (прием 1)
    a = a + n;  // +0 (прием 1)
    // +n (прием 2)
    for (let i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
        console.log(0);
    }
    // +n*n (прием 3)
    for (let i = 0; i < 2 * n; i++) {
        for (let j = 0; j < n + 1; j++) {
            console.log(0);
        }
    }
}
```

=== "TS"

```typescript title=""
function algorithm(n: number): void {
    let a = 1;  // +0 (прием 1)
    a = a + n;  // +0 (прием 1)
    // +n (прием 2)
    for (let i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
        console.log(0);
    }
    // +n*n (прием 3)
    for (let i = 0; i < 2 * n; i++) {
        for (let j = 0; j < n + 1; j++) {
            console.log(0);
        }
    }
}
```

=== "Dart"

```dart title=""
void algorithm(int n) {
  int a = 1; // +0 (прием 1)
  a = a + n; // +0 (прием 1)
  // +n (прием 2)
  for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
    print(0);
  }
  // +n*n (прием 3)
  for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
    for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
      print(0);
    }
  }
}
```

=== "Rust"

```rust title=""
fn algorithm(n: i32) {
    let mut a = 1;     // +0 (прием 1)
    a = a + n;        // +0 (прием 1)

    // +n (прием 2)
    for i in 0..(5 * n + 1) {
        println!("{}", 0);
    }

    // +n*n (прием 3)
    for i in 0..(2 * n) {
        for j in 0..(n + 1) {
            println!("{}", 0);
        }
    }
}
```

=== "C"

```c title=""
void algorithm(int n) {
    int a = 1;  // +0 (прием 1)
    a = a + n;  // +0 (прием 1)
    // +n (прием 2)
    for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
        printf("%d", 0);
    }
    // +n*n (прием 3)
    for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
        for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
            printf("%d", 0);
        }
    }
}
```

=== "Kotlin"

```kotlin title=""
fun algorithm(n: Int) {
    var a = 1   // +0 (прием 1)
    a = a + n   // +0 (прием 1)
    // +n (прием 2)
    for (i in 0..<5 * n + 1) {
        println(0)
    }
    // +n*n (прием 3)
    for (i in 0..<2 * n) {
        for (j in 0..<n + 1) {
            println(0)
        }
    }
}
```

=== "Ruby"

```ruby title=""
def algorithm(n)
    a = 1       # +0 (прием 1)
    a = a + n   # +0 (прием 1)
    # +n (прием 2)
    (0...(5 * n + 1)).each do { puts 0 }
    # +n*n (прием 3)
    (0...(2 * n)).each do
        (0...(n + 1)).each do { puts 0 }
    end
end
```

Следующая формула показывает результаты подсчета до и после использования перечисленных выше приемов. В обоих случаях выводимая временная сложность равна O(n^2) .

\begin{aligned}
T(n) & = 2n(n + 1) + (5n + 1) + 2 & \text{полный подсчет (-.-|||)} \newline
& = 2n^2 + 7n + 3 \newline
T(n) & = n^2 + n & \text{ленивый подсчет (o.O)}
\end{aligned}

Шаг 2: определение асимптотической верхней границы

**Временная сложность определяется старшим по степени членом в T(n) **. Это связано с тем, что при стремлении n к бесконечности именно старший член начинает доминировать, а влиянием остальных членов можно пренебречь.

В таблице ниже приведены несколько примеров. Некоторые значения специально сделаны преувеличенными, чтобы подчеркнуть вывод: коэффициент не способен изменить порядок. Когда n стремится к бесконечности, эти константы становятся несущественными.

Таблица   Временная сложность, соответствующая разному количеству операций

Число операций T(n)	Временная сложность O(f(n))
100000	O(1)
3n + 2	O(n)
2n^2 + 3n + 2	O(n^2)
n^3 + 10000n^2	O(n^3)
2^n + 10000n^{10000}	O(2^n)

Распространенные типы

Пусть размер входных данных равен n. Распространенные типы временной сложности показаны на рисунке ниже в порядке от меньшей к большей.

\begin{aligned}
& O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n \log n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!) \newline
& \text{Постоянная} < \text{Логарифмическая} < \text{Линейная} < \text{Линейно-логарифмическая} < \text{Квадратичная} < \text{Экспоненциальная} < \text{Факториальная}
\end{aligned}

Постоянная сложность O(1)

Число операций при постоянной сложности не зависит от размера входных данных n , то есть не изменяется вместе с изменением n .

В следующей функции, хотя число операций size может быть большим, оно не зависит от размера входных данных n , поэтому временная сложность по-прежнему равна O(1) :

[file]{time_complexity}-[class]{}-[func]{constant}

Линейная сложность O(n)

Линейная сложность характеризуется тем, что число операций растет линейно относительно размера входных данных n . Линейная сложность обычно встречается в одноуровневых циклах:

[file]{time_complexity}-[class]{}-[func]{linear}

Операции обхода массива и обхода связного списка имеют временную сложность O(n) , где n - длина массива или списка:

[file]{time_complexity}-[class]{}-[func]{array_traversal}

Стоит отметить, что размер входных данных n нужно определять конкретно в зависимости от типа входа. Например, в первом примере переменная n сама является размером входных данных. Во втором примере размером данных служит длина массива.

Квадратичная сложность O(n^2)

Квадратичная сложность характеризуется тем, что число операций растет квадратично относительно размера входных данных n . Квадратичная сложность обычно встречается во вложенных циклах: временная сложность внешнего и внутреннего циклов равна O(n) , поэтому общая временная сложность составляет O(n^2) :

[file]{time_complexity}-[class]{}-[func]{quadratic}

На рисунке ниже сравниваются три временные сложности: постоянная, линейная и квадратичная.

Возьмем в качестве примера пузырьковую сортировку: внешний цикл выполняется n - 1 раз, внутренний цикл выполняется n-1 , n-2 , \dots , 2 , 1 раз, в среднем это n / 2 раз, поэтому временная сложность равна O((n - 1)n / 2) = O(n^2) :

[file]{time_complexity}-[class]{}-[func]{bubble_sort}

Экспоненциальная сложность O(2^n)

Типичный пример экспоненциального роста в биологии - деление клеток: в начальном состоянии есть одна клетка, после одного деления их становится 2, после двух делений - 4 и так далее. После n раундов деления клеток становится 2^n .

На рисунке ниже и в следующем коде моделируется процесс деления клеток. Временная сложность равна O(2^n) . Здесь входное значение n обозначает число раундов деления, а возвращаемое значение count обозначает общее число делений.

[file]{time_complexity}-[class]{}-[func]{exponential}

В реальных алгоритмах экспоненциальная сложность также часто встречается в рекурсивных функциях. Например, в следующем коде процесс рекурсивно делится надвое и останавливается после n разбиений:

[file]{time_complexity}-[class]{}-[func]{exp_recur}

Экспоненциальный рост происходит очень быстро и часто встречается в переборных методах, грубой силе, поиске с возвратом и тому подобных подходах. Для задач большого масштаба экспоненциальная сложность неприемлема, и обычно приходится применять динамическое программирование, жадные алгоритмы и другие стратегии.

Логарифмическая сложность O(\log n)

В противоположность экспоненциальной, логарифмическая сложность описывает ситуацию, когда в каждом раунде размер задачи уменьшается вдвое. Пусть размер входных данных равен n. Так как на каждом шаге размер уменьшается вдвое, число итераций равно \log_2 n , то есть является обратной функцией к 2^n .

На рисунке ниже и в следующем коде моделируется процесс, в котором в каждом раунде размер задачи уменьшается вдвое. Временная сложность равна O(\log_2 n) и кратко записывается как O(\log n) :

[file]{time_complexity}-[class]{}-[func]{logarithmic}

Подобно экспоненциальной сложности, логарифмическая также часто встречается в рекурсивных функциях. Следующий код формирует рекурсивное дерево высотой \log_2 n :

[file]{time_complexity}-[class]{}-[func]{log_recur}

Логарифмическая сложность часто встречается в алгоритмах, основанных на стратегии «разделяй и властвуй», и отражает идеи разбиения на части и упрощения сложной задачи. Она растет медленно и считается одной из самых желательных временных сложностей после константной.

!!! tip "Каково основание у O(\log n) ?"

Точнее говоря, «разделение на $m$ частей» соответствует временной сложности $O(\log_m n)$ . А по формуле перехода к другому основанию логарифма мы получаем равные по сложности выражения с разными основаниями:

$$
O(\log_m n) = O(\log_k n / \log_k m) = O(\log_k n)
$$

Иными словами, основание $m$ можно менять без влияния на сложность. Поэтому мы обычно опускаем основание $m$ и напрямую записываем логарифмическую сложность как $O(\log n)$ .

Линейно-логарифмическая сложность O(n \log n)

Линейно-логарифмическая сложность часто встречается в рекурсивных разбиениях, где временная сложность одного измерения равна O(\log n) , а другого - O(n) . Соответствующий код выглядит следующим образом:

[file]{time_complexity}-[class]{}-[func]{linear_log_recur}

На рисунке ниже показано, как возникает линейно-логарифмическая сложность. Общее число операций на каждом уровне бинарного дерева равно n , а дерево имеет \log_2 n + 1 уровней, поэтому временная сложность равна O(n \log n) .

Временная сложность основных алгоритмов сортировки обычно равна O(n \log n) , например у быстрой сортировки, сортировки слиянием, пирамидальной сортировки и т.д.

Факториальная сложность O(n!)

Факториальная сложность соответствует математической задаче полной перестановки. Если даны n попарно различных элементов, то число всех возможных перестановок равно:

n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 2 \times 1

Факториал обычно реализуют через рекурсию. Как показано на рисунке ниже и в следующем коде, на первом уровне происходит ветвление на n подзадач, на втором - на n - 1 и так далее, пока на $n$-м уровне ветвление не прекращается:

[file]{time_complexity}-[class]{}-[func]{factorial_recur}

Следует отметить, что поскольку при n \geq 4 всегда выполняется n! > 2^n , факториальная сложность растет еще быстрее, чем экспоненциальная, и при больших n становится неприемлемой.

Худшая, лучшая и средняя временная сложность

Временная эффективность алгоритма часто не фиксирована, а зависит от распределения входных данных. Предположим, на вход подается массив nums длины n , состоящий из чисел от 1 до n , каждое из которых встречается ровно один раз. При этом порядок элементов случайно перемешан. Задача состоит в том, чтобы вернуть индекс элемента 1 . Тогда можно сделать следующие выводы.

• Когда nums = [?, ?, ..., 1] , то есть когда последний элемент равен 1 , нужно полностью пройти по массиву, что дает худшую временную сложность $O(n)$ .
• Когда nums = [1, ?, ?, ...] , то есть когда первый элемент равен 1 , независимо от длины массива продолжать обход не нужно, что дает лучшую временную сложность $\Omega(1)$ .

Худшая временная сложность соответствует асимптотической верхней границе функции и обозначается нотацией Big O . Соответственно, лучшая временная сложность соответствует асимптотической нижней границе функции и обозначается символом \Omega :

[file]{worst_best_time_complexity}-[class]{}-[func]{find_one}

Стоит отметить, что на практике лучшая временная сложность используется редко, поскольку обычно она достигается лишь с очень малой вероятностью и может вводить в заблуждение. Худшая временная сложность гораздо практичнее, потому что задает безопасную оценку эффективности и позволяет уверенно использовать алгоритм.

Из приведенного выше примера видно, что худшая и лучшая временные сложности возникают только при особых распределениях данных. Вероятность таких случаев может быть низкой, и они не всегда реально отражают эффективность алгоритма. Напротив, средняя временная сложность способна показать эффективность алгоритма на случайных входных данных и обозначается символом \Theta .

Для некоторых алгоритмов можно относительно просто вывести средний случай при случайном распределении данных. Например, в приведенном выше примере входной массив перемешан, а вероятность появления элемента 1 на любом индексе одинакова. Следовательно, среднее число итераций алгоритма равно половине длины массива, то есть n / 2 , а средняя временная сложность равна \Theta(n / 2) = \Theta(n) .

Однако для более сложных алгоритмов вычислить среднюю временную сложность часто непросто, потому что трудно проанализировать полное математическое ожидание на заданном распределении данных. В таких случаях обычно используют худшую временную сложность как критерий оценки эффективности алгоритма.

!!! question "Почему символ \Theta встречается так редко?"

Возможно, потому что символ $O$ звучит слишком привычно, и мы часто используем его для обозначения средней временной сложности. Но строго говоря, это некорректно. В этой книге и в других материалах, если встретится выражение вроде «средняя временная сложность $O(n)$», просто понимай его как $\Theta(n)$ .