hello-algo/ru/docs/chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem.md

Задача о расстоянии редактирования

Расстояние редактирования, также называемое расстоянием Левенштейна, - это минимальное количество изменений, необходимых для преобразования одной строки в другую. Обычно оно используется для измерения сходства двух последовательностей в информационном поиске и обработке естественного языка.

!!! question

Даны две строки $s$ и $t$ . Верните минимальное число шагов редактирования, необходимое для преобразования $s$ в $t$ .

Для строки допускаются три операции редактирования: вставка одного символа, удаление одного символа и замена одного символа на произвольный другой символ.

Как показано на рисунке ниже, для преобразования kitten в sitting требуется 3 шага редактирования: 2 операции замены и 1 операция вставки. Для преобразования hello в algo также требуется 3 шага: 2 замены и 1 удаление.

Задачу о расстоянии редактирования можно естественным образом объяснить с помощью модели дерева решений. Строки соответствуют узлам дерева, а один шаг решения, то есть одна операция редактирования, соответствует одному ребру дерева.

Как показано на рисунке ниже, если не ограничивать число операций, то каждый узел может порождать множество ребер, и каждое из них соответствует одному из вариантов преобразования. Это означает, что преобразовать hello в algo можно множеством разных путей.

С точки зрения дерева решений цель этой задачи - найти кратчайший путь между узлом hello и узлом algo .

Идея динамического программирования

Шаг 1: продумать решения на каждом раунде, определить состояние и тем самым получить таблицу $dp$

На каждом раунде решение состоит в выполнении одной операции редактирования над строкой s .

Нам нужно, чтобы в ходе выполнения операций размер задачи постепенно уменьшался. Только тогда можно строить подзадачи. Пусть длины строк s и t равны соответственно n и m. Сначала рассмотрим последние символы этих строк, то есть s[n-1] и t[m-1] .

• Если s[n-1] и t[m-1] совпадают, их можно просто пропустить и сразу перейти к сравнению s[n-2] и t[m-2] .
• Если s[n-1] и t[m-1] различны, нужно выполнить над s одну операцию редактирования (вставку, удаление или замену), чтобы последние символы стали одинаковыми, после чего можно перейти к задаче меньшего размера.

Иначе говоря, каждый шаг решения, то есть операция редактирования над строкой s , меняет те символы, которые еще необходимо сопоставить в строках s и t . Поэтому состояние определяется текущими позициями рассматриваемых символов в s и t , то есть состоянием [i, j] .

Подзадача, соответствующая состоянию [i, j] , такова: минимальное число операций редактирования, необходимое для преобразования первых i символов строки s в первые j символов строки $t$.

Отсюда получается двумерная таблица dp размера (i+1) \times (j+1) .

Шаг 2: найти оптимальную подструктуру и на ее основе вывести уравнение перехода состояния

Рассмотрим подзадачу dp[i, j] . Ее последние символы - это s[i-1] и t[j-1] . В зависимости от операции редактирования возможны три случая, показанные на рисунке ниже.

1. Вставить после s[i-1] символ t[j-1]. Тогда остается подзадача dp[i, j-1] .
2. Удалить s[i-1]. Тогда остается подзадача dp[i-1, j] .
3. Заменить s[i-1] на t[j-1]. Тогда остается подзадача dp[i-1, j-1] .

Согласно этому анализу оптимальная подструктура такова: минимальное число шагов редактирования для dp[i, j] равно минимуму из трех значений - dp[i, j-1] , dp[i-1, j] и dp[i-1, j-1] - плюс 1 шаг за текущее редактирование. Значит, уравнение перехода состояния имеет вид:

dp[i, j] = \min(dp[i, j-1], dp[i-1, j], dp[i-1, j-1]) + 1

Заметим, что если символы s[i-1] и t[j-1] совпадают, то редактировать текущий символ не нужно. В этом случае уравнение перехода состояния имеет вид:

dp[i, j] = dp[i-1, j-1]

Шаг 3: определить граничные условия и порядок переходов

Когда обе строки пусты, число операций редактирования равно 0 , то есть dp[0, 0] = 0 . Когда строка s пуста, а строка t непуста, минимальное число операций равно длине строки t , то есть вся первая строка инициализируется как dp[0, j] = j . Когда строка s непуста, а строка t пуста, минимальное число операций равно длине строки s , то есть весь первый столбец инициализируется как dp[i, 0] = i .

Из уравнения перехода видно, что решение dp[i, j] зависит от значений слева, сверху и слева сверху, поэтому всю таблицу dp можно обходить двумя вложенными циклами в прямом порядке.

Реализация кода

[file]{edit_distance}-[class]{}-[func]{edit_distance_dp}

Как показано на рисунке ниже, процесс переходов состояния в задаче о расстоянии редактирования очень похож на задачи о рюкзаке: и там и здесь его можно рассматривать как заполнение двумерной сетки.

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

=== "<5>"

=== "<6>"

=== "<7>"

=== "<8>"

=== "<9>"

=== "<10>"

=== "<11>"

=== "<12>"

=== "<13>"

=== "<14>"

=== "<15>"

Оптимизация пространства

Поскольку dp[i,j] зависит от значения сверху dp[i-1, j] , слева dp[i, j-1] и слева сверху dp[i-1, j-1] , прямой обход после оптимизации памяти теряет значение слева сверху, а обратный обход не позволяет заранее построить значение слева dp[i, j-1] . Значит, оба наивных варианта обхода здесь непригодны.

Чтобы решить эту проблему, можно использовать переменную leftup для временного сохранения значения слева сверху dp[i-1, j-1]. После этого остается учитывать только верхнее и левое значения. Тогда ситуация становится аналогичной задаче о полном рюкзаке, и можно выполнять прямой обход. Код приведен ниже:

[file]{edit_distance}-[class]{}-[func]{edit_distance_dp_comp}