hello-algo/ru/docs/chapter_greedy/fractional_knapsack_problem.md

Задача о дробном рюкзаке

!!! question

Дано $n$ предметов. Вес предмета $i$ равен $wgt[i-1]$, ценность равна $val[i-1]$, также дан рюкзак вместимостью $cap$. Каждый предмет можно выбрать только один раз, **но разрешается взять лишь часть предмета, а ценность вычисляется пропорционально взятому весу**. Требуется найти максимальную ценность предметов в рюкзаке при ограниченной вместимости. Пример показан на рисунке ниже.

Задача о дробном рюкзаке в целом очень похожа на задачу о рюкзаке 0-1: состояние включает текущий предмет i и вместимость c, а цель состоит в нахождении максимальной ценности при заданной вместимости рюкзака.

Отличие в том, что здесь разрешено брать только часть предмета. Как показано на рисунке ниже, мы можем произвольно делить предмет и вычислять соответствующую ценность пропорционально весу.

1. Для предмета i его ценность на единицу веса равна val[i-1] / wgt[i-1], сокращенно - удельная ценность.
2. Если взять часть предмета i весом w, то ценность рюкзака увеличится на w \times val[i-1] / wgt[i-1].

Определение жадной стратегии

Максимизация общей ценности предметов в рюкзаке по сути равносильна максимизации ценности на единицу веса. Отсюда естественно выводится жадная стратегия, показанная на рисунке ниже.

1. Отсортировать предметы по убыванию удельной ценности.
2. Перебирать все предметы и на каждом шаге жадно выбирать предмет с наибольшей удельной ценностью.
3. Если оставшейся вместимости рюкзака недостаточно, взять часть текущего предмета, чтобы заполнить рюкзак.

Код реализации

Мы вводим класс Item, чтобы можно было сортировать предметы по удельной ценности. Далее циклически выполняем жадный выбор и, когда рюкзак заполнен, выходим и возвращаем ответ:

[file]{fractional_knapsack}-[class]{}-[func]{fractional_knapsack}

Встроенный алгоритм сортировки обычно имеет временную сложность O(n \log n), а пространственная сложность обычно равна O(\log n) или O(n), в зависимости от конкретной реализации в языке программирования.

Помимо сортировки, в худшем случае потребуется пройти весь список предметов, но это не меняет асимптотику, поэтому итоговая временная сложность равна $O(n \log n)$, где n - число предметов.

Поскольку инициализируется список объектов Item, пространственная сложность равна $O(n)$.

Доказательство корректности

Используем доказательство от противного. Предположим, что предмет x имеет наибольшую удельную ценность, некоторый алгоритм получил максимальную ценность res, но в найденном решении предмет x отсутствует.

Теперь вынем из рюкзака произвольный предмет единичного веса и заменим его на предмет x того же веса. Поскольку предмет x имеет наибольшую удельную ценность, общая ценность после замены обязательно станет больше res. Это противоречит тому, что res является оптимальным решением, а значит оптимальное решение обязательно содержит предмет $x$.

Для других предметов в этом решении можно построить аналогичное противоречие. Иными словами, предметы с большей удельной ценностью всегда являются более выгодным выбором, а значит жадная стратегия корректна.

Как показано на рисунке ниже, если рассматривать вес предметов и их удельную ценность как горизонтальную и вертикальную оси двумерной диаграммы, то задачу о дробном рюкзаке можно интерпретировать как «поиск максимальной площади, ограниченной конечным отрезком по горизонтали». Эта аналогия помогает понять корректность жадной стратегии с геометрической точки зрения.