hello-algo/ru/docs/chapter_heap/build_heap.md

Построение кучи

В некоторых случаях требуется построить кучу, используя сразу все элементы списка. Этот процесс называется построением кучи.

Реализация через операцию добавления в кучу

Сначала мы создаем пустую кучу, затем обходим список и для каждого элемента по очереди выполняем операцию добавления в кучу: сначала помещаем элемент в хвост кучи, а затем выполняем для него упорядочивание снизу вверх.

Каждый раз, когда элемент добавляется в кучу, ее длина увеличивается на единицу. Поскольку узлы последовательно добавляются в двоичное дерево сверху вниз, куча строится сверху вниз.

Пусть число элементов равно n. Так как каждая операция добавления требует O(\log{n}) времени, временная сложность такого построения кучи составляет O(n \log n) .

Реализация через обход и упорядочивание

На самом деле можно реализовать и более эффективный способ построения кучи, который состоит из двух шагов.

1. Без изменений добавить все элементы списка в кучу. В этот момент свойства кучи еще не выполняются.
2. Обойти кучу в обратном порядке, то есть в порядке, обратном обходу по уровням, и по очереди выполнить упорядочивание сверху вниз для каждого нелистового узла.

После того как некоторый узел был упорядочен, поддерево с этим узлом в качестве корня становится корректной подкучей. А поскольку обход выполняется в обратном порядке, куча строится снизу вверх.

Причина выбора обратного обхода в том, что он гарантирует: поддеревья ниже текущего узла уже являются корректными подкучами, а значит, упорядочивание текущего узла действительно будет эффективным.

Стоит отметить, что листовые узлы не имеют дочерних узлов, поэтому они естественным образом являются корректными подкучами и не требуют упорядочивания. Как показано в коде ниже, последний нелистовой узел является родителем последнего узла, и именно с него мы начинаем обратный обход и упорядочивание:

[file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{__init__}

Анализ сложности

Теперь попробуем оценить временную сложность второго способа построения кучи.

• Пусть число узлов полного двоичного дерева равно n , тогда число листовых узлов равно (n + 1) / 2 , где / означает целочисленное деление вниз. Следовательно, число узлов, которые нужно упорядочивать, равно (n - 1) / 2 .
• В процессе упорядочивания сверху вниз каждый узел в худшем случае может просеяться до листа, поэтому максимальное число итераций равно высоте двоичного дерева \log n .

Перемножив эти два значения, можно получить временную сложность построения кучи O(n \log n) . Но эта оценка неточна, потому что мы не учли свойство двоичного дерева: на нижних уровнях узлов гораздо больше, чем на верхних.

Далее выполним более точный расчет. Чтобы упростить вычисления, предположим, что дано «идеальное двоичное дерево» высоты h с числом узлов n. Это предположение не повлияет на корректность результата.

Как показано на рисунке выше, максимальное число итераций упорядочивания сверху вниз для некоторого узла равно расстоянию от этого узла до листового узла, а это расстояние как раз и есть высота узла. Поэтому мы можем просуммировать для каждого уровня выражение «число узлов \times высота узла» и получить суммарное число итераций упорядочивания для всех узлов.

T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{(h-1)}\times1

Чтобы упростить это выражение, воспользуемся школьными знаниями о последовательностях и сначала умножим T(h) на 2 :

\begin{aligned}
T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{h-1}\times1 \newline
2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \dots + 2^{h}\times1 \newline
\end{aligned}

Используя метод вычитания со сдвигом, вычтем из нижней строки 2 T(h) верхнюю строку T(h) , тогда получим:

2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{h-1} + 2^h

Из этого выражения видно, что T(h) представляет собой геометрическую прогрессию, поэтому можно напрямую применить формулу суммы и получить временную сложность:

\begin{aligned}
T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline
& = 2^{h+1} - h - 2 \newline
& = O(2^h)
\end{aligned}

Далее, число узлов идеального двоичного дерева высоты h равно n = 2^{h+1} - 1 , поэтому несложно получить сложность O(2^h) = O(n) . Из этого вывода следует, что построение кучи из входного списка имеет временную сложность O(n) , то есть выполняется очень эффективно.