hello-algo/ru/docs/chapter_searching/binary_search_insertion.md

Двоичный поиск точки вставки

Двоичный поиск можно использовать не только для поиска целевого элемента, но и для решения многих вариаций задачи, например для поиска позиции вставки целевого элемента.

Случай без повторяющихся элементов

!!! question

Дан упорядоченный массив `nums` длины $n$ и элемент `target` , причем в массиве нет повторяющихся элементов. Нужно вставить `target` в массив `nums` , сохранив порядок. Если элемент `target` уже присутствует в массиве, вставьте его слева от него. Верните индекс, который будет иметь `target` после вставки. Пример показан на рисунке ниже.

Если мы хотим переиспользовать код двоичного поиска из предыдущего раздела, нужно ответить на два вопроса.

Вопрос 1: если массив содержит target , будет ли индекс вставки совпадать с индексом этого элемента?

По условию target нужно вставить слева от равного элемента, а это означает, что новый target занимает место старого target . Иначе говоря, если массив содержит target , то индекс вставки совпадает с индексом этого target.

Вопрос 2: если массив не содержит target , индекс какого элемента будет точкой вставки?

Рассмотрим процесс двоичного поиска подробнее: когда nums[m] < target , указатель i сдвигается вправо и тем самым приближается к элементу, который больше либо равен target . Аналогично указатель j постепенно приближается к элементу, который меньше либо равен target .

Следовательно, после завершения двоичного поиска обязательно выполняется следующее: указатель i указывает на первый элемент, больший target , а указатель j указывает на первый элемент, меньший target . Нетрудно сделать вывод, что если массив не содержит target , то индекс вставки равен $i$ . Код приведен ниже:

[file]{binary_search_insertion}-[class]{}-[func]{binary_search_insertion_simple}

Случай с повторяющимися элементами

!!! question

В предыдущей задаче теперь допускается, что массив может содержать повторяющиеся элементы, а все остальные условия остаются без изменений.

Если в массиве есть несколько элементов target , то обычный двоичный поиск сможет вернуть индекс только одного из них, но не позволит определить, сколько элементов target находится слева и справа от него.

По условию целевой элемент нужно вставить в самую левую позицию, поэтому нам нужно найти индекс самого левого target в массиве. На первом этапе можно рассмотреть решение, показанное на рисунке ниже.

1. Выполнить двоичный поиск и получить индекс любого элемента target , обозначив его как k .
2. Начиная с индекса k , линейно двигаться влево и вернуть результат, когда будет найден самый левый target .

Этот метод применим на практике, однако в нем есть линейный поиск, поэтому его временная сложность равна O(n) . Когда в массиве имеется много повторяющихся target , такой подход работает неэффективно.

Теперь рассмотрим расширение кода двоичного поиска. Как показано на рисунке ниже, общий процесс остается прежним: на каждом шаге мы сначала вычисляем индекс середины m , а затем сравниваем target и nums[m] , после чего возможны следующие случаи.

• Когда nums[m] < target или nums[m] > target , это означает, что target еще не найден, поэтому используется стандартная операция сужения интервала в двоичном поиске, благодаря чему указатели i и j приближаются к target.
• Когда nums[m] == target , это означает, что элементы меньше target находятся в интервале [i, m - 1] , поэтому мы используем j = m - 1 для сужения интервала, тем самым приближая указатель j к элементам, меньшим target.

После завершения цикла указатель i будет указывать на самый левый target , а указатель j - на первый элемент, меньший target , поэтому индекс i и является точкой вставки.

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

=== "<5>"

=== "<6>"

=== "<7>"

=== "<8>"

Если посмотреть на следующий код, то видно, что действия в ветвях nums[m] > target и nums[m] == target совпадают, поэтому эти две ветви можно объединить.

Даже в этом случае можно оставить условия развернутыми, потому что так логика выглядит более ясной и код легче читать.

[file]{binary_search_insertion}-[class]{}-[func]{binary_search_insertion}

!!! tip

Код в этом разделе записан в стиле "двойного замкнутого интервала". При желании можно самостоятельно реализовать вариант "слева закрыт, справа открыт".

Если смотреть в целом, суть двоичного поиска сводится к тому, что для указателей i и j заранее задаются ориентиры поиска; целью может быть конкретный элемент, например target , а может быть и диапазон элементов, например все элементы, меньшие target .

В ходе непрерывного двоичного деления указатели i и j постепенно приближаются к заранее заданной цели. В конце они либо успешно находят ответ, либо останавливаются после выхода за границы.