hello-algo/ru/docs/chapter_tree/array_representation_of_tree.md

Представление двоичного дерева массивом

В представлении через связную структуру единицей хранения двоичного дерева является узел TreeNode , а между узлами существуют связи через указатели. В предыдущем разделе были рассмотрены основные операции двоичного дерева в таком представлении.

Возникает вопрос: можно ли представить двоичное дерево с помощью массива? Ответ: да.

Представление идеального двоичного дерева

Сначала разберем простой случай. Если дана идеальная двоичная структура и все ее узлы хранятся в массиве в порядке обхода по уровням, то каждому узлу будет соответствовать единственный индекс массива.

Из свойств обхода по уровням можно вывести формулу соответствия между индексом родителя и индексами дочерних узлов: если индекс некоторого узла равен i , то индекс его левого дочернего узла равен 2i + 1 , а правого - $2i + 2$ . На рисунке ниже показано соответствие между индексами разных узлов.

Эта формула соответствия играет ту же роль, что и ссылки на узлы в связной структуре . Имея любой узел в массиве, мы можем с ее помощью получить доступ к его левому и правому дочерним узлам.

Представление произвольного двоичного дерева

Идеальное двоичное дерево - лишь частный случай; в обычной двоичной структуре на промежуточных уровнях часто существует множество None . Поскольку последовательность обхода по уровням не содержит этих None , мы не можем по одной лишь этой последовательности определить их количество и расположение. Это означает, что одному и тому же обходу по уровням может соответствовать сразу несколько различных структур двоичного дерева.

Как показано на рисунке ниже, для неполной двоичной структуры описанный выше способ представления массивом уже перестает работать.

Чтобы решить эту проблему, мы можем явно записывать все None в последовательности обхода по уровням . Как показано на рисунке ниже, после такой обработки последовательность обхода по уровням уже сможет однозначно задавать двоичное дерево. Пример кода приведен ниже:

=== "Python"

```python title=""
# Представление двоичного дерева массивом
# Используем None для обозначения пустых позиций
tree = [1, 2, 3, 4, None, 6, 7, 8, 9, None, None, 12, None, None, 15]
```

=== "C++"

```cpp title=""
/* Представление двоичного дерева массивом */
// Используем максимальное значение int, INT_MAX, для обозначения пустых позиций
vector<int> tree = {1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15};
```

=== "Java"

```java title=""
/* Представление двоичного дерева массивом */
// Используя обертку Integer для int, можно применять null для обозначения пустых позиций
Integer[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 };
```

=== "C#"

```csharp title=""
/* Представление двоичного дерева массивом */
// Используя nullable-тип int? , можно применять null для обозначения пустых позиций
int?[] tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];
```

=== "Go"

```go title=""
/* Представление двоичного дерева массивом */
// Используем срез типа any, чтобы можно было применять nil для обозначения пустых позиций
tree := []any{1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15}
```

=== "Swift"

```swift title=""
/* Представление двоичного дерева массивом */
// Используя nullable-тип Int? , можно применять nil для обозначения пустых позиций
let tree: [Int?] = [1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15]
```

=== "JS"

```javascript title=""
/* Представление двоичного дерева массивом */
// Используем null для обозначения пустых позиций
let tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];
```

=== "TS"

```typescript title=""
/* Представление двоичного дерева массивом */
// Используем null для обозначения пустых позиций
let tree: (number | null)[] = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];
```

=== "Dart"

```dart title=""
/* Представление двоичного дерева массивом */
// Используя nullable-тип int? , можно применять null для обозначения пустых позиций
List<int?> tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];
```

=== "Rust"

```rust title=""
/* Представление двоичного дерева массивом */
// Используем None для обозначения пустых позиций
let tree = [Some(1), Some(2), Some(3), Some(4), None, Some(6), Some(7), Some(8), Some(9), None, None, Some(12), None, None, Some(15)];
```

=== "C"

```c title=""
/* Представление двоичного дерева массивом */
// Используем максимальное значение int для обозначения пустых позиций, поэтому узлы не должны принимать значение INT_MAX
int tree[] = {1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15};
```

=== "Kotlin"

```kotlin title=""
/* Представление двоичного дерева массивом */
// Используем null для обозначения пустых позиций
val tree = arrayOf( 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 )
```

=== "Ruby"

```ruby title=""
### Представление двоичного дерева массивом ###
# Используем nil для обозначения пустых позиций
tree = [1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15]
```

Стоит отметить, что полное двоичное дерево очень удобно представлять массивом . Если вспомнить определение полного двоичного дерева, то None появляются только на самом нижнем уровне и справа, а значит, все None обязательно находятся в конце последовательности обхода по уровням.

Это означает, что при представлении полного двоичного дерева массивом можно не хранить все None , что очень удобно. На рисунке ниже приведен пример.

Ниже приведен код реализации двоичного дерева, представленного массивом. Он включает следующие операции.

• Для заданного узла получить его значение, левого дочернего узла, правого дочернего узла и родительский узел.
• Получить последовательности прямого, симметричного, обратного обходов и обхода по уровням.

[file]{array_binary_tree}-[class]{array_binary_tree}-[func]{}

Преимущества и ограничения

Представление двоичного дерева массивом имеет в основном следующие преимущества.

• Массив хранится в непрерывной области памяти, хорошо работает с кешем и обеспечивает высокую скорость доступа и обхода.
• Не нужно хранить указатели, поэтому память расходуется экономнее.
• Разрешается произвольный доступ к узлам.

Однако у представления массивом есть и некоторые ограничения.

• Для хранения массива требуется непрерывная область памяти, поэтому такой способ не подходит для деревьев с очень большим объемом данных.
• Добавление и удаление узлов приходится реализовывать через вставку и удаление элементов массива, а это не слишком эффективно.
• Когда в двоичном дереве имеется большое число None , доля действительно полезных данных в массиве оказывается низкой, и эффективность использования пространства падает.