22b3b568ef
* docs(ru): replace prose quotes with guillemets * docs(ru): replace prose semicolons with periods * docs(ru): align animation title forms * docs(ru): align figure and table references
5.4 KiB
Поисковая стратегия разделяй и властвуй
Мы уже знаем, что алгоритмы поиска делятся на две большие категории.
- Полный перебор: реализуется через обход структуры данных, временная сложность равна
O(n). - Адаптивный поиск: использует особую организацию данных или априорную информацию, временная сложность может достигать
O(\log n)и дажеO(1).
На практике алгоритмы поиска с временной сложностью O(\log n) обычно реализуются на основе стратегии «разделяй и властвуй», например двоичный поиск и деревья.
- На каждом шаге двоичный поиск раскладывает задачу (поиск целевого элемента в массиве) на более мелкую задачу (поиск целевого элемента в одной половине массива), и этот процесс продолжается, пока массив не станет пустым или пока не будет найден целевой элемент.
- Деревья являются типичными представителями идей «разделяй и властвуй». В таких структурах данных, как двоичное дерево поиска, AVL-дерево и куча, временная сложность различных операций равна
O(\log n).
Стратегия «разделяй и властвуй» для двоичного поиска выглядит следующим образом.
- Задача раскладывается на части: двоичный поиск рекурсивно разбивает исходную задачу (поиск в массиве) на подзадачу (поиск в одной половине массива), и это достигается сравнением среднего элемента с целевым значением.
- Подзадачи независимы: в двоичном поиске на каждом шаге обрабатывается только одна подзадача, и она не зависит от других подзадач.
- Решения подзадач не нужно объединять: двоичный поиск нацелен на поиск конкретного элемента, поэтому объединять решения подзадач не требуется. Как только подзадача решена, одновременно считается решенной и исходная задача.
Иными словами, стратегия «разделяй и властвуй» повышает эффективность поиска потому, что при полном переборе за один шаг удается исключить только один вариант, тогда как при поиске на основе «разделяй и властвуй» за один шаг можно исключить половину вариантов.
Реализация двоичного поиска на основе «разделяй и властвуй»
В предыдущих главах двоичный поиск реализовывался через итерацию. Теперь реализуем его с помощью стратегии «разделяй и властвуй», то есть через рекурсию.
!!! question
Дан отсортированный массив `nums` длины $n$ , в котором все элементы уникальны. Найдите элемент `target` .
С точки зрения стратегии «разделяй и властвуй» обозначим подзадачу, соответствующую интервалу поиска [i, j] , через f(i, j) .
Начиная с исходной задачи f(0, n-1) , выполняем двоичный поиск по следующим шагам.
- Вычислить середину
mинтервала поиска[i, j]и с ее помощью исключить половину интервала. - Рекурсивно решить подзадачу вдвое меньшего размера. Это может быть либо
f(i, m-1), либоf(m+1, j). - Повторять шаг
1.и шаг2., пока не будет найденtargetили пока интервал не станет пустым.
На рисунке ниже показан процесс применения стратегии «разделяй и властвуй» для поиска элемента 6 в массиве.
В реализации кода мы объявляем рекурсивную функцию dfs() для решения задачи f(i, j) :
[file]{binary_search_recur}-[class]{}-[func]{binary_search}