hello-algo/ru/docs/chapter_graph/graph_traversal.md

Обход графа

Дерево представляет отношение «один ко многим», тогда как граф обладает большей свободой и может выражать произвольные отношения «многие ко многим». Поэтому дерево можно рассматривать как частный случай графа. Очевидно, что операции обхода дерева также являются частным случаем операций обхода графа.

И графы, и деревья требуют применения алгоритмов обхода. Способы обхода графа также делятся на два типа: обход в ширину и обход в глубину.

Обход в ширину

Обход в ширину - это способ обхода от ближнего к дальнему, при котором начиная с некоторого узла сначала посещают ближайшие вершины, а затем слой за слоем расширяются наружу. Как показано на рисунке ниже, начиная с вершины в левом верхнем углу, мы сначала обходим все смежные вершины этой вершины, затем все смежные вершины следующей вершины и так далее, пока не будут посещены все вершины.

Реализация алгоритма

BFS обычно реализуется с помощью очереди, код приведен ниже. Очередь обладает свойством «первым пришел - первым вышел», что хорошо соответствует идее BFS «от ближнего к дальнему».

1. Поместить стартовую вершину обхода startVet в очередь и запустить цикл.
2. На каждой итерации цикла извлекать вершину из головы очереди и записывать ее посещение, после чего добавлять все смежные вершины этой вершины в хвост очереди.
3. Повторять шаг 2. до тех пор, пока не будут посещены все вершины.

Чтобы предотвратить повторный обход вершин, нам нужно хеш-множество visited , в котором записывается, какие вершины уже посещены.

!!! tip

Хеш-множество можно рассматривать как хеш-таблицу, которая хранит только `key` и не хранит `value` . Оно позволяет выполнять добавление, удаление и проверку наличия `key` за $O(1)$ времени. Благодаря уникальности `key` хеш-множество обычно используется, например, для устранения повторов.

[file]{graph_bfs}-[class]{}-[func]{graph_bfs}

Код сравнительно абстрактен, поэтому для лучшего понимания рекомендуется сопоставлять его с тем, что показано на рисунке ниже.

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

=== "<5>"

=== "<6>"

=== "<7>"

=== "<8>"

=== "<9>"

=== "<10>"

=== "<11>"

!!! question "Является ли последовательность обхода в ширину единственной?"

Нет. Обход в ширину требует только соблюдения порядка «от ближнего к дальнему», **а порядок обхода нескольких вершин на одинаковом расстоянии может произвольно меняться**. Например, на рисунке выше можно поменять местами порядок посещения вершин $1$ и $3$ , а вершины $2$, $4$, $6$ также можно переставлять произвольно.

Анализ сложности

Временная сложность: все вершины по одному разу помещаются в очередь и извлекаются из нее, что требует O(|V|) времени. При обходе смежных вершин, поскольку граф неориентированный, все ребра будут посещены по 2 раза, что требует O(2|E|) времени. В сумме получается O(|V| + |E|) .

Пространственная сложность: список res , хеш-множество visited и очередь que в худшем случае могут содержать до |V| вершин, поэтому требуется O(|V|) памяти.

Обход в глубину

Обход в глубину - это способ обхода, при котором сначала идут до самого конца, а когда дальше идти нельзя, возвращаются назад. Как показано на рисунке ниже, начиная с вершины в левом верхнем углу, мы выбираем некоторую смежную вершину текущей вершины, идем до упора, затем возвращаемся назад, снова идем до упора и так далее, пока не будут посещены все вершины.

Реализация алгоритма

Такой алгоритмический шаблон «дойти до конца и вернуться» обычно реализуется через рекурсию. Подобно обходу в ширину, в обходе в глубину мы также используем хеш-множество visited для записи уже посещенных вершин и тем самым избегаем повторного посещения.

[file]{graph_dfs}-[class]{}-[func]{graph_dfs}

Алгоритмический процесс обхода в глубину показан на рисунке ниже.

• Прямая пунктирная линия обозначает нисходящую рекурсию , то есть запуск нового рекурсивного метода для посещения новой вершины.
• Изогнутая пунктирная линия обозначает восходящую рекурсию , то есть данный рекурсивный метод завершился и управление вернулось туда, откуда он был вызван.

Чтобы лучше понять алгоритм, рекомендуется сопоставить код с тем, что показано на рисунке ниже, и мысленно проследить весь процесс DFS, включая моменты запуска и возврата каждого рекурсивного вызова.

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

=== "<5>"

=== "<6>"

=== "<7>"

=== "<8>"

=== "<9>"

=== "<10>"

=== "<11>"

!!! question "Является ли последовательность обхода в глубину единственной?"

Как и в случае обхода в ширину, последовательность DFS тоже не является единственной. Для заданной вершины допустимо сначала углубиться в любое направление, то есть порядок смежных вершин может быть произвольным, и все такие варианты будут корректными обходами в глубину.

Если взять в качестве примера обход дерева, то варианты «корень $\rightarrow$ лево $\rightarrow$ право», «лево $\rightarrow$ корень $\rightarrow$ право» и «лево $\rightarrow$ право $\rightarrow$ корень» соответствуют прямому, симметричному и обратному обходам соответственно. Они показывают три разных приоритета обхода, но все они относятся к обходу в глубину.

Анализ сложности

Временная сложность: все вершины будут посещены по 1 разу, что требует O(|V|) времени. Все ребра будут посещены по 2 раза, что требует O(2|E|) времени. Суммарно получается O(|V| + |E|) .

Пространственная сложность: число вершин в списке res и хеш-множестве visited в худшем случае достигает |V| , максимальная глубина рекурсии тоже равна |V| , поэтому требуется O(|V|) памяти.