hello-algo/ru/docs/chapter_heap/top_k.md

Задача Top-k

!!! question

Дан неупорядоченный массив `nums` длины $n$ . Требуется вернуть наибольшие $k$ элементов массива.

Для этой задачи мы сначала покажем два относительно прямолинейных способа решения, а затем более эффективный способ на основе кучи.

Метод 1: выбор через обход

Как показано на рисунке ниже, можно выполнить k проходов по массиву и на каждом проходе извлекать соответственно $1$-й, $2$-й, \dots , $k$-й по величине элемент. Временная сложность такого подхода равна O(nk) .

Этот метод подходит только для случая k \ll n , потому что когда k приближается к n , его временная сложность стремится к O(n^2) , а это уже очень затратно.

!!! tip

Когда $k = n$ , мы получаем полную упорядоченную последовательность, и в этот момент задача становится эквивалентной алгоритму «сортировка выбором».

Метод 2: сортировка

Как показано на рисунке ниже, можно сначала отсортировать массив nums , а затем вернуть его крайние правые k элементов. Временная сложность такого метода равна O(n \log n) .

Очевидно, что этот способ делает слишком много, потому что нам нужно только найти наибольшие k элементов, а сортировать остальные элементы совсем не обязательно.

Метод 3: куча

Задачу Top-k можно решить гораздо эффективнее с помощью кучи, как показано на рисунке ниже.

1. Инициализировать минимальную кучу, у которой вершина содержит наименьший элемент.
2. Сначала по очереди поместить в кучу первые k элементов массива.
3. Начиная с элемента номер k + 1 , если текущий элемент больше элемента на вершине кучи, то извлечь вершину кучи и поместить в кучу текущий элемент.
4. После завершения обхода в куче будут храниться как раз наибольшие k элементов.

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

=== "<5>"

=== "<6>"

=== "<7>"

=== "<8>"

=== "<9>"

Пример кода приведен ниже:

[file]{top_k}-[class]{}-[func]{top_k_heap}

Всего выполняется n операций добавления и извлечения из кучи, а максимальная длина кучи равна k , поэтому временная сложность равна O(n \log k) . Этот метод очень эффективен: когда k мало, временная сложность стремится к O(n). Когда k велико, она все равно не превышает O(n \log n) .

Кроме того, этот метод подходит и для сценариев с динамическим потоком данных. При непрерывном поступлении новых данных мы можем продолжать поддерживать содержимое кучи, тем самым динамически обновляя наибольшие k элементов.