hello-algo/ru/docs/chapter_data_structure/number_encoding.md

Кодирование чисел *

!!! tip

В этой книге разделы, помеченные символом `*`, относятся к дополнительному чтению. Если у тебя мало времени или материал кажется трудным, можно сначала пропустить их и вернуться после изучения обязательных разделов.

Прямой, обратный и дополнительный коды

В таблице из предыдущего раздела можно заметить, что все целочисленные типы могут представлять на одно отрицательное число больше, чем положительных. Например, диапазон byte равен [-128, 127] . Это выглядит не слишком интуитивно, и внутренняя причина связана с прямым, обратным и дополнительным кодами.

Прежде всего нужно отметить, что числа хранятся в компьютере в виде «дополнительного кода». Прежде чем разбирать причины такого решения, сначала дадим определения всем трем способам представления.

• Прямой код: старший бит двоичного представления числа рассматривается как знаковый, где 0 означает положительное число, а 1 - отрицательное. Остальные биты представляют значение числа.
• Обратный код: для положительного числа обратный код совпадает с прямым. Для отрицательного числа он получается инверсией всех битов прямого кода, кроме знакового бита.
• Дополнительный код: для положительного числа дополнительный код совпадает с прямым. Для отрицательного числа он получается добавлением 1 к его обратному коду.

На рисунке ниже показаны способы преобразования между прямым, обратным и дополнительным кодами.

Прямой код (sign-magnitude), хотя и является самым наглядным, имеет определенные ограничения. С одной стороны, прямой код отрицательных чисел нельзя напрямую использовать в вычислениях. Например, при вычислении 1 + (-2) в прямом коде результатом будет -3 , что, очевидно, неверно.

\begin{aligned}
& 1 + (-2) \newline
& \rightarrow 0000 \. 0001 + 1000 \. 0010 \newline
& = 1000 \. 0011 \newline
& \rightarrow -3
\end{aligned}

Чтобы решить эту проблему, компьютеры ввели обратный код (1's complement). Если сначала преобразовать прямой код в обратный и выполнить вычисление 1 + (-2) в обратном коде, а затем перевести результат обратно в прямой код, то получится правильный результат -1 .

\begin{aligned}
& 1 + (-2) \newline
& \rightarrow 0000 \. 0001 \. \text{(прямой код)} + 1000 \. 0010 \. \text{(прямой код)} \newline
& = 0000 \. 0001 \. \text{(обратный код)} + 1111  \. 1101 \. \text{(обратный код)} \newline
& = 1111 \. 1110 \. \text{(обратный код)} \newline
& = 1000 \. 0001 \. \text{(прямой код)} \newline
& \rightarrow -1
\end{aligned}

С другой стороны, **в прямом коде у нуля есть два представления: +0 и -0 **. Это означает, что числу ноль соответствуют два разных двоичных кода, что может приводить к неоднозначности. Например, если в условном выражении не различать положительный и отрицательный ноль, можно получить ошибочный результат. А если специально обрабатывать такую неоднозначность, придется вводить дополнительные проверки, что может снизить вычислительную эффективность компьютера.

\begin{aligned}
+0 & \rightarrow 0000 \. 0000 \newline
-0 & \rightarrow 1000 \. 0000
\end{aligned}

Как и прямой код, обратный код тоже страдает от неоднозначности положительного и отрицательного нуля, поэтому компьютеры ввели дополнительный код (2's complement). Сначала посмотрим на процесс преобразования отрицательного нуля из прямого кода в обратный, а затем в дополнительный:

\begin{aligned}
-0 \rightarrow \. & 1000 \. 0000 \. \text{(прямой код)} \newline
= \. & 1111 \. 1111 \. \text{(обратный код)} \newline
= 1 \. & 0000 \. 0000 \. \text{(дополнительный код)} \newline
\end{aligned}

При добавлении 1 к обратному коду отрицательного нуля возникает перенос, но длина типа byte составляет всего 8 бит, поэтому переполнившаяся в 9-й бит единица отбрасывается. Иными словами, дополнительный код отрицательного нуля равен 0000 \. 0000 и совпадает с дополнительным кодом положительного нуля. Значит, в представлении дополнительного кода существует только один ноль, и проблема неоднозначности положительного и отрицательного нуля тем самым устраняется.

Остается последний вопрос: диапазон типа byte равен [-128, 127] , откуда берется лишнее отрицательное число -128 ? Мы замечаем, что у всех целых чисел из интервала [-127, +127] есть соответствующие прямой, обратный и дополнительный коды, а прямой и дополнительный коды можно преобразовывать друг в друга.

Однако дополнительный код 1000 \. 0000 является исключением: у него нет соответствующего прямого кода. Согласно правилу преобразования, прямой код для этого дополнительного кода должен быть равен 0000 \. 0000 . Это очевидное противоречие, потому что такой прямой код обозначает число 0 , а его дополнительный код должен совпадать с ним самим. Компьютер просто определяет, что этот особый дополнительный код 1000 \. 0000 представляет число -128 . На самом деле результат вычисления (-1) + (-127) в дополнительном коде как раз и равен -128 .

\begin{aligned}
& (-127) + (-1) \newline
& \rightarrow 1111 \. 1111 \. \text{(прямой код)} + 1000 \. 0001 \. \text{(прямой код)} \newline
& = 1000 \. 0000 \. \text{(обратный код)} + 1111  \. 1110 \. \text{(обратный код)} \newline
& = 1000 \. 0001 \. \text{(дополнительный код)} + 1111  \. 1111 \. \text{(дополнительный код)} \newline
& = 1000 \. 0000 \. \text{(дополнительный код)} \newline
& \rightarrow -128
\end{aligned}

Ты, вероятно, уже заметил, что все приведенные выше вычисления были операциями сложения. Это указывает на важный факт: аппаратные схемы внутри компьютера в основном проектируются на основе операций сложения. Причина в том, что сложение по сравнению с другими операциями (например умножением, делением и вычитанием) проще реализуется на аппаратном уровне, легче распараллеливается и выполняется быстрее.

Обрати внимание: это не означает, что компьютер умеет только складывать. Комбинируя сложение с некоторыми базовыми логическими операциями, компьютер может реализовать и другие математические операции. Например, вычитание a - b можно преобразовать в сложение a + (-b). Умножение и деление можно свести к многократному сложению или вычитанию.

Теперь можно подвести итог, почему компьютеры используют дополнительный код: с представлением в дополнительном коде компьютер может использовать одни и те же схемы и операции для сложения положительных и отрицательных чисел, без необходимости проектировать специальные аппаратные схемы для вычитания и без особой обработки неоднозначности положительного и отрицательного нуля. Это значительно упрощает аппаратную архитектуру и повышает эффективность вычислений.

Идея дополнительного кода очень изящна. Из-за ограничений по объему мы на этом остановимся. Если тебе интересно, стоит изучить эту тему глубже.

Кодирование чисел с плавающей точкой

Внимательный читатель может заметить: int и float имеют одинаковую длину, по 4 байта , но почему диапазон значений у float намного больше, чем у int ? Это выглядит парадоксально, ведь float должен еще представлять дробные числа, а значит диапазон вроде бы должен быть меньше.

На самом деле это связано с тем, что число с плавающей точкой float использует другой способ представления. Обозначим двоичное число длиной 32 бита как:

b_{31} b_{30} b_{29} \ldots b_2 b_1 b_0

Согласно стандарту IEEE 754, 32-битный float состоит из следующих трех частей.

• Бит знака \mathrm{S} : занимает 1 бит и соответствует b_{31} .
• Биты экспоненты \mathrm{E} : занимают 8 бит и соответствуют b_{30} b_{29} \ldots b_{23} .
• Биты мантиссы \mathrm{N} : занимают 23 бита и соответствуют b_{22} b_{21} \ldots b_0 .

Формула вычисления значения, соответствующего двоичному числу float, имеет вид:

\text {val} = (-1)^{b_{31}} \times 2^{\left(b_{30} b_{29} \ldots b_{23}\right)_2-127} \times\left(1 . b_{22} b_{21} \ldots b_0\right)_2

Если перейти к десятичной записи, формула вычисления будет такой:

\text {val}=(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{\mathrm{E} -127} \times (1 + \mathrm{N})

Диапазоны значений соответствующих частей таковы:

\begin{aligned}
\mathrm{S} \in & \{ 0, 1\}, \quad \mathrm{E} \in \{ 1, 2, \dots, 254 \} \newline
(1 + \mathrm{N}) = & (1 + \sum_{i=1}^{23} b_{23-i} 2^{-i}) \subset [1, 2 - 2^{-23}]
\end{aligned}

Как видно на рисунке выше, если взять пример \mathrm{S} = 0 , \mathrm{E} = 124 , \mathrm{N} = 2^{-2} + 2^{-3} = 0.375 , то получим:

\text { val } = (-1)^0 \times 2^{124 - 127} \times (1 + 0.375) = 0.171875

Теперь мы можем ответить на исходный вопрос: в представлении float присутствуют биты экспоненты, поэтому его диапазон значений намного больше, чем у int. Согласно приведенным выше вычислениям, максимально возможное положительное число для float равно 2^{254 - 127} \times (2 - 2^{-23}) \approx 3.4 \times 10^{38}. Если изменить бит знака, получим минимальное отрицательное число.

Хотя число с плавающей точкой float расширяет диапазон значений, побочным эффектом становится потеря точности. Целочисленный тип int использует все 32 бита для представления числа, и числа распределены равномерно. А из-за существования битов экспоненты у float чем больше число, тем больше обычно становится разница между двумя соседними представимыми значениями.

Как показано в таблице ниже, значения экспоненты \mathrm{E} = 0 и \mathrm{E} = 255 имеют специальный смысл и используются для представления нуля, бесконечности, \mathrm{NaN} и т.д.

Таблица   Значение поля экспоненты

Поле экспоненты E	Поле мантиссы \mathrm{N} = 0	Поле мантиссы \mathrm{N} \ne 0	Формула вычисления
0	\pm 0	Денормализованное число	(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{-126} \times (0.\mathrm{N})
1, 2, \dots, 254	Нормализованное число	Нормализованное число	(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{(\mathrm{E} -127)} \times (1.\mathrm{N})
255	\pm \infty	\mathrm{NaN}

Стоит отметить, что денормализованные числа заметно повышают точность чисел с плавающей точкой. Наименьшее положительное нормализованное число равно 2^{-126} , а наименьшее положительное денормализованное число равно 2^{-126} \times 2^{-23} .

Двойная точность double использует способ представления, аналогичный float , поэтому здесь мы не будем подробно останавливаться на нем.